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太阳系的起源
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![八年级数学 / 因式分解 / 用提公因式法分解因式
一、核心概念（夯实基础）
1. 公因式的定义
一个多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的构成：① 系数部分：各项系数的最大公约数（若系数为负，取绝对值的最大公约数，最终公因式的符号由多项式首项符号决定，通常使首项为正）；② 字母部分：各项中相同的字母，且取相同字母的最低次幂；③ 特殊情况：公因式可以是单项式，也可以是多项式（如
(a+b)
作为公共因式）。
示例：多项式
8a
3
b
2
−12ab
3
c
的公因式：系数部分：8 和 12 的最大公约数是 4；字母部分：相同字母为
a
（最低次幂
a
1
）、
b
（最低次幂
b
2
），无公共字母
c
；因此公因式为
4ab
2
。
2. 提公因式法的定义
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
本质：逆用乘法分配律（
ma+mb+mc=m(a+b+c)
，其中
m
为公因式）。
二、提公因式法的解题步骤（规范操作）
步骤 1：找公因式（关键步骤）
按 “系数→字母→多项式” 的顺序找，确保不遗漏：① 找系数的最大公约数（含符号处理）；② 找相同字母的最低次幂；③ 若各项含有相同的多项式因式，将其视为一个整体作为公因式。
步骤 2：提公因式
用多项式的每一项除以公因式，得到另一个因式，公因式写在括号外，两个因式用乘法连接。
注意：提取公因式后，括号内的各项系数、字母次数要与原多项式对应，不能漏项。
步骤 3：验结果（避免出错）
用乘法分配律将分解后的式子展开，看是否与原多项式相等，若相等则分解正确。
三、典型例题（分层突破）
类型 1：公因式为单项式（基础题）
例 1：分解因式
6x
2
y−9xy
2
+3xy
步骤 1：找公因式
系数：6、-9、3 的最大公约数是 3；
字母：相同字母
x
（最低次幂
x
1
）、
y
（最低次幂
y
1
）；
公因式为
3xy
。
步骤 2：提公因式
每一项除以
3xy
：
6x
2
y÷3xy=2x
，
−9xy
2
÷3xy=−3y
，
3xy÷3xy=1
；
因此分解结果：
3xy(2x−3y+1)
（注意：最后一项除以公因式得 1，不能漏写）。
步骤 3：验证
展开
3xy(2x−3y+1)=6x
2
y−9xy
2
+3xy
，与原多项式一致，正确。
例 2：分解因式
−4a
3
b
2
+6a
2
b−2ab
步骤 1：找公因式
首项为负，先提取 “-” 号，再找系数绝对值的最大公约数：4、6、2 的最大公约数是 2；
字母：相同字母
a
（最低次幂
a
1
）、
b
（最低次幂
b
1
）；
公因式为
−2ab
（提负号后，括号内各项符号要改变）。
步骤 2：提公因式
−4a
3
b
2
÷(−2ab)=2a
2
b
，
6a
2
b÷(−2ab)=−3a
，
−2ab÷(−2ab)=1
；
分解结果：
−2ab(2a
2
b−3a+1)
。
类型 2：公因式为多项式（进阶题）
例 3：分解因式
3(x−y)−2(x−y)
2
步骤 1：找公因式
各项都含多项式因式
(x−y)
，最低次幂为
(x−y)
1
；
系数：3、-2 的最大公约数是 1；
公因式为
(x−y)
。
步骤 2：提公因式
3(x−y)÷(x−y)=3
，
−2(x−y)
2
÷(x−y)=−2(x−y)
；
分解结果：
(x−y)[3−2(x−y)]=(x−y)(3−2x+2y)
（括号内可整理，去括号后合并同类项）。
例 4：分解因式
a(x−3)+2b(3−x)
关键：注意
(3−x)=−(x−3)
，先统一公因式；
步骤 1：变形后找公因式
原式 =
a(x−3)−2b(x−3)
，公因式为
(x−3)
；
步骤 2：提公因式
分解结果：
(x−3)(a−2b)
。
四、易错点总结（避坑指南）
漏提系数的最大公约数：如将
4x
2
−6x
分解为
2x(x−3)
（错误，应为
2x(2x−3)
）；
漏提相同字母的最低次幂：如将
x
3
y
2
−x
2
y
3
分解为
x
2
y(x−y
2
)
（错误，应为
x
2
y
2
(x−y)
）；
提公因式后漏写 “1”：如将
2x+4
分解为
2(x)
（错误，应为
2(x+2)
）；
符号错误：首项为负时未提负号，或提负号后括号内各项符号未改变；
公因式为多项式时未统一形式：如
(x−y)
和
(y−x)
需先转化为相同形式。
五、基础练习（巩固提升）
分解因式：
12x
3
y−18x
2
y
2
（答案：
6x
2
y(2x−3y)
）
分解因式：
−8a
2
b+12ab
2
−4ab
（答案：
−4ab(2a−3b+1)
）
分解因式：
5(x+2)−3(x+2)
2
（答案：
(x+2)(5−3x−6)=(x+2)(−3x−1)=−(x+2)(3x+1)
）
分解因式：
m(a−b)−n(b−a)
（答案：
(a−b)(m+n)
）
六、总结
提公因式法是因式分解的最基础、最常用方法，核心是 “找准公因式”，关键在于兼顾系数、字母、多项式因式的提取，同时注意符号和漏项问题。掌握此方法后，能为后续学习公式法、十字相乘法等复杂因式分解打下基础，解题时需遵循 “找→提→验” 的步骤，规范操作，避免易错点。](https://manimvideo.explanation.fun/video/cover/596037600963858433.png)
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八年级数学 / 因式分解 / 用提公因式法分解因式 一、核心概念（夯实基础） 1. 公因式的定义 一个多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式的构成：① 系数部分：各项系数的最大公约数（若系数为负，取绝对值的最大公约数，最终公因式的符号由多项式首项符号决定，通常使首项为正）；② 字母部分：各项中相同的字母，且取相同字母的最低次幂；③ 特殊情况：公因式可以是单项式，也可以是多项式（如 (a+b) 作为公共因式）。 示例：多项式 8a 3 b 2 −12ab 3 c 的公因式：系数部分：8 和 12 的最大公约数是 4；字母部分：相同字母为 a （最低次幂 a 1 ）、 b （最低次幂 b 2 ），无公共字母 c ；因此公因式为 4ab 2 。 2. 提公因式法的定义 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 本质：逆用乘法分配律（ ma+mb+mc=m(a+b+c) ，其中 m 为公因式）。 二、提公因式法的解题步骤（规范操作） 步骤 1：找公因式（关键步骤） 按 “系数→字母→多项式” 的顺序找，确保不遗漏：① 找系数的最大公约数（含符号处理）；② 找相同字母的最低次幂；③ 若各项含有相同的多项式因式，将其视为一个整体作为公因式。 步骤 2：提公因式 用多项式的每一项除以公因式，得到另一个因式，公因式写在括号外，两个因式用乘法连接。 注意：提取公因式后，括号内的各项系数、字母次数要与原多项式对应，不能漏项。 步骤 3：验结果（避免出错） 用乘法分配律将分解后的式子展开，看是否与原多项式相等，若相等则分解正确。 三、典型例题（分层突破） 类型 1：公因式为单项式（基础题） 例 1：分解因式 6x 2 y−9xy 2 +3xy 步骤 1：找公因式 系数：6、-9、3 的最大公约数是 3； 字母：相同字母 x （最低次幂 x 1 ）、 y （最低次幂 y 1 ）； 公因式为 3xy 。 步骤 2：提公因式 每一项除以 3xy ： 6x 2 y÷3xy=2x ， −9xy 2 ÷3xy=−3y ， 3xy÷3xy=1 ； 因此分解结果： 3xy(2x−3y+1) （注意：最后一项除以公因式得 1，不能漏写）。 步骤 3：验证 展开 3xy(2x−3y+1)=6x 2 y−9xy 2 +3xy ，与原多项式一致，正确。 例 2：分解因式 −4a 3 b 2 +6a 2 b−2ab 步骤 1：找公因式 首项为负，先提取 “-” 号，再找系数绝对值的最大公约数：4、6、2 的最大公约数是 2； 字母：相同字母 a （最低次幂 a 1 ）、 b （最低次幂 b 1 ）； 公因式为 −2ab （提负号后，括号内各项符号要改变）。 步骤 2：提公因式 −4a 3 b 2 ÷(−2ab)=2a 2 b ， 6a 2 b÷(−2ab)=−3a ， −2ab÷(−2ab)=1 ； 分解结果： −2ab(2a 2 b−3a+1) 。 类型 2：公因式为多项式（进阶题） 例 3：分解因式 3(x−y)−2(x−y) 2 步骤 1：找公因式 各项都含多项式因式 (x−y) ，最低次幂为 (x−y) 1 ； 系数：3、-2 的最大公约数是 1； 公因式为 (x−y) 。 步骤 2：提公因式 3(x−y)÷(x−y)=3 ， −2(x−y) 2 ÷(x−y)=−2(x−y) ； 分解结果： (x−y)[3−2(x−y)]=(x−y)(3−2x+2y) （括号内可整理，去括号后合并同类项）。 例 4：分解因式 a(x−3)+2b(3−x) 关键：注意 (3−x)=−(x−3) ，先统一公因式； 步骤 1：变形后找公因式 原式 = a(x−3)−2b(x−3) ，公因式为 (x−3) ； 步骤 2：提公因式 分解结果： (x−3)(a−2b) 。 四、易错点总结（避坑指南） 漏提系数的最大公约数：如将 4x 2 −6x 分解为 2x(x−3) （错误，应为 2x(2x−3) ）； 漏提相同字母的最低次幂：如将 x 3 y 2 −x 2 y 3 分解为 x 2 y(x−y 2 ) （错误，应为 x 2 y 2 (x−y) ）； 提公因式后漏写 “1”：如将 2x+4 分解为 2(x) （错误，应为 2(x+2) ）； 符号错误：首项为负时未提负号，或提负号后括号内各项符号未改变； 公因式为多项式时未统一形式：如 (x−y) 和 (y−x) 需先转化为相同形式。 五、基础练习（巩固提升） 分解因式： 12x 3 y−18x 2 y 2 （答案： 6x 2 y(2x−3y) ） 分解因式： −8a 2 b+12ab 2 −4ab （答案： −4ab(2a−3b+1) ） 分解因式： 5(x+2)−3(x+2) 2 （答案： (x+2)(5−3x−6)=(x+2)(−3x−1)=−(x+2)(3x+1) ） 分解因式： m(a−b)−n(b−a) （答案： (a−b)(m+n) ） 六、总结 提公因式法是因式分解的最基础、最常用方法，核心是 “找准公因式”，关键在于兼顾系数、字母、多项式因式的提取，同时注意符号和漏项问题。掌握此方法后，能为后续学习公式法、十字相乘法等复杂因式分解打下基础，解题时需遵循 “找→提→验” 的步骤，规范操作，避免易错点。
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what is Residual
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什么是平均数
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二、核心乘法公式详解 1. 平方差公式 标准形式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 语言描述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 推导过程（多项式乘法展开）： (a+b)(a−b) =a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b) =a 2 −ab+ab−b 2 =a 2 −b 2 结构特点： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（ a ），另一项互为相反数（ b 与 −b ） 右边：相同项的平方减去相反项的平方（同方减反方） 几何意义：边长为 a 的正方形中挖去边长为 b 的小正方形，剩余部分面积为 a 2 −b 2 ，可拼成一个长 (a+b) 、宽 (a−b) 的矩形 2. 完全平方公式（和与差） 完全平方和公式： 标准形式： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 语言描述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的 2 倍 完全平方差公式： 标准形式： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 语言描述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的 2 倍 推导过程（以和为例）： (a+b) 2 =(a+b)(a+b) =a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b =a 2 +2ab+b 2 结构特点（口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央）： 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘） 右边：三项式，包含首项平方（ a 2 ）、尾项平方（ b 2 ）、中间交叉项的 2 倍（ ±2ab ），符号与左边二项式中间符号相同 几何意义（以和为例）：边长为 a+b 的正方形，可分为边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长 a 宽 b 的矩形，面积和为 a 2 +2ab+b 2 三、公式的灵活应用 1. 基本应用：直接套用公式 平方差公式示例： (x+3)(x−3)=x 2 −3 2 =x 2 −9 (2a+5b)(2a−5b)=(2a) 2 −(5b) 2 =4a 2 −25b 2 完全平方公式示例： (m+4) 2 =m 2 +2⋅m⋅4+4 2 =m 2 +8m+16 (3x−2y) 2 =(3x) 2 −2⋅3x⋅2y+(2y) 2 =9x 2 −12xy+4y 2
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二、核心乘法公式详解 1. 平方差公式 标准形式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 语言描述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 推导过程（多项式乘法展开）： (a+b)(a−b) =a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b) =a 2 −ab+ab−b 2 =a 2 −b 2 结构特点： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（ a ），另一项互为相反数（ b 与 −b ） 右边：相同项的平方减去相反项的平方（同方减反方） 几何意义：边长为 a 的正方形中挖去边长为 b 的小正方形，剩余部分面积为 a 2 −b 2 ，可拼成一个长 (a+b) 、宽 (a−b) 的矩形 2. 完全平方公式（和与差） 完全平方和公式： 标准形式： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 语言描述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的 2 倍 完全平方差公式： 标准形式： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 语言描述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的 2 倍 推导过程（以和为例）： (a+b) 2 =(a+b)(a+b) =a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b =a 2 +2ab+b 2 结构特点（口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央）： 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘） 右边：三项式，包含首项平方（ a 2 ）、尾项平方（ b 2 ）、中间交叉项的 2 倍（ ±2ab ），符号与左边二项式中间符号相同 几何意义（以和为例）：边长为 a+b 的正方形，可分为边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长 a 宽 b 的矩形，面积和为 a 2 +2ab+b 2 三、公式的灵活应用 1. 基本应用：直接套用公式 平方差公式示例： (x+3)(x−3)=x 2 −3 2 =x 2 −9 (2a+5b)(2a−5b)=(2a) 2 −(5b) 2 =4a 2 −25b 2 完全平方公式示例： (m+4) 2 =m 2 +2⋅m⋅4+4 2 =m 2 +8m+16 (3x−2y) 2 =(3x) 2 −2⋅3x⋅2y+(2y) 2 =9x 2 −12xy+4y 2
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八年级数学 / 整式的乘法 / 乘法公式 乘法公式是整式乘法的核心内容，主要包括平方差公式和完全平方公式，它们是多项式乘法的特殊形式，能大幅简化运算。以下按 “公式 - 推导 - 结构 - 应用 - 题型 - 易错点” 的逻辑系统梳理，方便学习与复习。 一、基础运算回顾（前置知识） 运算类型 公式 语言描述 同底数幂乘法 a m ⋅a n =a m+n 底数不变，指数相加 幂的乘方 (a m ) n =a mn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab) n =a n b n 积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 多项式乘法 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再相加 二、核心乘法公式详解 1. 平方差公式 标准形式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 语言描述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 推导过程（多项式乘法展开）： (a+b)(a−b) =a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b) =a 2 −ab+ab−b 2 =a 2 −b 2 结构特点： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（ a ），另一项互为相反数（ b 与 −b ） 右边：相同项的平方减去相反项的平方（同方减反方） 几何意义：边长为 a 的正方形中挖去边长为 b 的小正方形，剩余部分面积为 a 2 −b 2 ，可拼成一个长 (a+b) 、宽 (a−b) 的矩形 2. 完全平方公式（和与差） 完全平方和公式： 标准形式： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 语言描述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的 2 倍 完全平方差公式： 标准形式： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 语言描述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的 2 倍 推导过程（以和为例）： (a+b) 2 =(a+b)(a+b) =a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b =a 2 +2ab+b 2 结构特点（口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央）： 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘） 右边：三项式，包含首项平方（ a 2 ）、尾项平方（ b 2 ）、中间交叉项的 2 倍（ ±2ab ），符号与左边二项式中间符号相同 几何意义（以和为例）：边长为 a+b 的正方形，可分为边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长 a 宽 b 的矩形，面积和为 a 2 +2ab+b 2
![八年级数学 / 整式的乘法 / 乘法公式
乘法公式是整式乘法的核心内容，主要包括平方差公式和完全平方公式，它们是多项式乘法的特殊形式，能大幅简化运算。以下按 “公式 - 推导 - 结构 - 应用 - 题型 - 易错点” 的逻辑系统梳理，方便学习与复习。
一、基础运算回顾（前置知识）
运算类型 公式 语言描述
同底数幂乘法
a
m
⋅a
n
=a
m+n
底数不变，指数相加
幂的乘方
(a
m
)
n
=a
mn
底数不变，指数相乘
积的乘方
(ab)
n
=a
n
b
n
积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘
多项式乘法
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再相加
二、核心乘法公式详解
1. 平方差公式
标准形式：
(a+b)(a−b)=a
2
−b
2
语言描述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差
推导过程（多项式乘法展开）：
(a+b)(a−b)
=a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b)
=a
2
−ab+ab−b
2
=a
2
−b
2
结构特点：
左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（
a
），另一项互为相反数（
b
与
−b
）
右边：相同项的平方减去相反项的平方（同方减反方）
几何意义：边长为
a
的正方形中挖去边长为
b
的小正方形，剩余部分面积为
a
2
−b
2
，可拼成一个长
(a+b)
、宽
(a−b)
的矩形
2. 完全平方公式（和与差）
完全平方和公式：
标准形式：
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
语言描述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的 2 倍
完全平方差公式：
标准形式：
(a−b)
2
=a
2
−2ab+b
2
语言描述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的 2 倍
推导过程（以和为例）：
(a+b)
2
=(a+b)(a+b)
=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b
=a
2
+2ab+b
2
结构特点（口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央）：
左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘）
右边：三项式，包含首项平方（
a
2
）、尾项平方（
b
2
）、中间交叉项的 2 倍（
±2ab
），符号与左边二项式中间符号相同
几何意义（以和为例）：边长为
a+b
的正方形，可分为边长为
a
的正方形、边长为
b
的正方形，以及两个长
a
宽
b
的矩形，面积和为
a
2
+2ab+b
2
三、公式的灵活应用
1. 基本应用：直接套用公式
平方差公式示例：
(x+3)(x−3)=x
2
−3
2
=x
2
−9
(2a+5b)(2a−5b)=(2a)
2
−(5b)
2
=4a
2
−25b
2
完全平方公式示例：
(m+4)
2
=m
2
+2⋅m⋅4+4
2
=m
2
+8m+16
(3x−2y)
2
=(3x)
2
−2⋅3x⋅2y+(2y)
2
=9x
2
−12xy+4y
2
2. 变形应用：公式的逆用与拓展
公式变形 表达式 应用场景
平方差逆用
a
2
−b
2
=(a+b)(a−b)
因式分解、简便计算
完全平方逆用
a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
因式分解、配方
完全平方和差关系
(a+b)
2
−(a−b)
2
=4ab
求
ab
值
平方和公式
a
2
+b
2
=(a+b)
2
−2ab=(a−b)
2
+2ab
知和求平方和、知差求平方和
示例：
若
x+y=5
，
xy=3
，求
x
2
+y
2
x
2
+y
2
=(x+y)
2
−2xy=5
2
−2×3=25−6=19
3. 特殊形式应用（换元思想）
当公式中的
a
、
b
为多项式时，可将其视为一个整体套用公式：
(a+b+c)(a+b−c)=[(a+b)+c][(a+b)−c]=(a+b)
2
−c
2
=a
2
+2ab+b
2
−c
2
(x−y+z)
2
=[(x−y)+z]
2
=(x−y)
2
+2(x−y)z+z
2
=x
2
−2xy+y
2
+2xz−2yz+z
2
4. 简便计算应用
利用公式简化复杂计算：
99×101=(100−1)(100+1)=100
2
−1
2
=10000−1=9999
102
2
=(100+2)
2
=100
2
+2×100×2+2
2
=10000+400+4=10404
99
2
=(100−1)
2
=100
2
−2×100×1+1
2
=10000−200+1=9801
四、常见题型分类解析
题型 解题关键 示例
公式直接计算 识别公式结构，找准
a
、
b
(−2m−3n)
2
=(2m+3n)
2
=4m
2
+12mn+9n
2
公式逆用（因式分解） 识别平方差或完全平方式
x
2
−6x+9=(x−3)
2
条件求值 利用公式变形，整体代入 已知
a−b=3
，求
a
2
+b
2
−6ab
（变形为
(a−b)
2
−4ab
）
配方求最值 配成完全平方式，利用平方非负性 求
x
2
−4x+5
最小值（配方为
(x−2)
2
+1
，最小值 1）
化简求值 先化简再代入，避免繁琐计算 化简
(2x+1)
2
−(2x−1)
2
，再代入
x=
4
1
五、易错点警示与避错技巧
易错点 错误示例 正确做法
完全平方漏中间项
(a+b)
2
=a
2
+b
2
牢记 “首平方，尾平方，积的 2 倍在中央”，中间项为
2ab
完全平方符号错误
(a−b)
2
=a
2
−2ab−b
2
尾项平方恒为正，应为
a
2
−2ab+b
2
平方差公式误用
(a+b)(c−d)=a
2
−b
2
必须满足 “一项同，一项反”，不同则用多项式乘法
系数未平方
(2a)
2
=2a
2
系数与字母都要平方，应为
4a
2
符号处理错误
(−a−b)
2
=a
2
−2ab+b
2
提取负号再平方：
(−a−b)
2
=(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
避错口诀：
平方差：同方减反方，符号要对好
完全平方：和平方加两倍，差平方减两倍，尾项平方永为正
遇负号：先定号，再平方，避免符号乱
六、思维拓展：拓展乘法公式（选学）
三数和平方公式：
(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc
立方和公式：
(a+b)(a
2
−ab+b
2
)=a
3
+b
3
立方差公式：
(a−b)(a
2
+ab+b
2
)=a
3
−b
3
总结
乘法公式是代数运算的基础工具，核心在于理解公式的结构特征与推导本质，而非死记硬背。通过大量练习掌握直接应用、逆用与变形应用，同时警惕常见易错点，就能熟练运用公式解决各类问题，为后续因式分解、二次函数等学习打下坚实基础。](https://manimvideo.explanation.fun/video/cover/595653712674344960.png)
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八年级数学 / 整式的乘法 / 乘法公式 乘法公式是整式乘法的核心内容，主要包括平方差公式和完全平方公式，它们是多项式乘法的特殊形式，能大幅简化运算。以下按 “公式 - 推导 - 结构 - 应用 - 题型 - 易错点” 的逻辑系统梳理，方便学习与复习。 一、基础运算回顾（前置知识） 运算类型 公式 语言描述 同底数幂乘法 a m ⋅a n =a m+n 底数不变，指数相加 幂的乘方 (a m ) n =a mn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab) n =a n b n 积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 多项式乘法 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再相加 二、核心乘法公式详解 1. 平方差公式 标准形式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 语言描述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 推导过程（多项式乘法展开）： (a+b)(a−b) =a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b) =a 2 −ab+ab−b 2 =a 2 −b 2 结构特点： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（ a ），另一项互为相反数（ b 与 −b ） 右边：相同项的平方减去相反项的平方（同方减反方） 几何意义：边长为 a 的正方形中挖去边长为 b 的小正方形，剩余部分面积为 a 2 −b 2 ，可拼成一个长 (a+b) 、宽 (a−b) 的矩形 2. 完全平方公式（和与差） 完全平方和公式： 标准形式： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 语言描述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的 2 倍 完全平方差公式： 标准形式： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 语言描述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的 2 倍 推导过程（以和为例）： (a+b) 2 =(a+b)(a+b) =a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b =a 2 +2ab+b 2 结构特点（口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央）： 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘） 右边：三项式，包含首项平方（ a 2 ）、尾项平方（ b 2 ）、中间交叉项的 2 倍（ ±2ab ），符号与左边二项式中间符号相同 几何意义（以和为例）：边长为 a+b 的正方形，可分为边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长 a 宽 b 的矩形，面积和为 a 2 +2ab+b 2 三、公式的灵活应用 1. 基本应用：直接套用公式 平方差公式示例： (x+3)(x−3)=x 2 −3 2 =x 2 −9 (2a+5b)(2a−5b)=(2a) 2 −(5b) 2 =4a 2 −25b 2 完全平方公式示例： (m+4) 2 =m 2 +2⋅m⋅4+4 2 =m 2 +8m+16 (3x−2y) 2 =(3x) 2 −2⋅3x⋅2y+(2y) 2 =9x 2 −12xy+4y 2 2. 变形应用：公式的逆用与拓展 公式变形 表达式 应用场景 平方差逆用 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 因式分解、简便计算 完全平方逆用 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 因式分解、配方 完全平方和差关系 (a+b) 2 −(a−b) 2 =4ab 求 ab 值 平方和公式 a 2 +b 2 =(a+b) 2 −2ab=(a−b) 2 +2ab 知和求平方和、知差求平方和 示例： 若 x+y=5 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 x 2 +y 2 =(x+y) 2 −2xy=5 2 −2×3=25−6=19 3. 特殊形式应用（换元思想） 当公式中的 a 、 b 为多项式时，可将其视为一个整体套用公式： (a+b+c)(a+b−c)=[(a+b)+c][(a+b)−c]=(a+b) 2 −c 2 =a 2 +2ab+b 2 −c 2 (x−y+z) 2 =[(x−y)+z] 2 =(x−y) 2 +2(x−y)z+z 2 =x 2 −2xy+y 2 +2xz−2yz+z 2 4. 简便计算应用 利用公式简化复杂计算： 99×101=(100−1)(100+1)=100 2 −1 2 =10000−1=9999 102 2 =(100+2) 2 =100 2 +2×100×2+2 2 =10000+400+4=10404 99 2 =(100−1) 2 =100 2 −2×100×1+1 2 =10000−200+1=9801 四、常见题型分类解析 题型 解题关键 示例 公式直接计算 识别公式结构，找准 a 、 b (−2m−3n) 2 =(2m+3n) 2 =4m 2 +12mn+9n 2 公式逆用（因式分解） 识别平方差或完全平方式 x 2 −6x+9=(x−3) 2 条件求值 利用公式变形，整体代入 已知 a−b=3 ，求 a 2 +b 2 −6ab （变形为 (a−b) 2 −4ab ） 配方求最值 配成完全平方式，利用平方非负性 求 x 2 −4x+5 最小值（配方为 (x−2) 2 +1 ，最小值 1） 化简求值 先化简再代入，避免繁琐计算 化简 (2x+1) 2 −(2x−1) 2 ，再代入 x= 4 1 五、易错点警示与避错技巧 易错点 错误示例 正确做法 完全平方漏中间项 (a+b) 2 =a 2 +b 2 牢记 “首平方，尾平方，积的 2 倍在中央”，中间项为 2ab 完全平方符号错误 (a−b) 2 =a 2 −2ab−b 2 尾项平方恒为正，应为 a 2 −2ab+b 2 平方差公式误用 (a+b)(c−d)=a 2 −b 2 必须满足 “一项同，一项反”，不同则用多项式乘法 系数未平方 (2a) 2 =2a 2 系数与字母都要平方，应为 4a 2 符号处理错误 (−a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 提取负号再平方： (−a−b) 2 =(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 避错口诀： 平方差：同方减反方，符号要对好 完全平方：和平方加两倍，差平方减两倍，尾项平方永为正 遇负号：先定号，再平方，避免符号乱 六、思维拓展：拓展乘法公式（选学） 三数和平方公式： (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc 立方和公式： (a+b)(a 2 −ab+b 2 )=a 3 +b 3 立方差公式： (a−b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 −b 3 总结 乘法公式是代数运算的基础工具，核心在于理解公式的结构特征与推导本质，而非死记硬背。通过大量练习掌握直接应用、逆用与变形应用，同时警惕常见易错点，就能熟练运用公式解决各类问题，为后续因式分解、二次函数等学习打下坚实基础。
![八年级数学 / 整式的乘法 / 整式的乘法
核心总览：整式乘法分为三大基础类型（单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式），以幂的运算法则为基础，延伸出平方差公式与完全平方公式两大常用乘法公式，运算时需注意符号与不漏项两大关键。
一、基础准备：幂的运算法则（必备前置知识）
法则 公式 示例 注意事项
同底数幂相乘
a
m
⋅a
n
=a
m+n
（
m,n
为正整数）
x
3
⋅x
5
=x
8
底数必须相同，指数相加
幂的乘方
(a
m
)
n
=a
mn
(y
2
)
4
=y
8
底数不变，指数相乘
积的乘方
(ab)
n
=a
n
b
n
(2x)
3
=8x
3
积中每个因式分别乘方
二、单项式与单项式相乘（整式乘法基础）
1. 运算法则
三步骤法：
系数相乘：按有理数乘法计算
同底数幂相乘：底数不变，指数相加
单独字母保留：只在一个单项式中出现的字母，连同指数作为积的因式
2. 典型例题
例 1：计算
2a
2
b⋅(−3ab
3
)
解：
(2×−3)⋅(a
2
⋅a)⋅(b⋅b
3
)=−6a
3
b
4
例 2：计算
(−2x
2
y)
3
⋅3xy
2
解：先算积的乘方：
(−2)
3
⋅(x
2
)
3
⋅y
3
=−8x
6
y
3
再相乘：
−8x
6
y
3
⋅3xy
2
=−24x
7
y
5
三、单项式与多项式相乘（转化思想的应用）
1. 运算法则
乘法分配律推广：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加公式：
m(a+b+c)=ma+mb+mc
2. 典型例题
例 3：计算
−2x(3x
2
−4x+1)
解：
−2x⋅3x
2
+(−2x)⋅(−4x)+(−2x)⋅1=−6x
3
+8x
2
−2x
3. 易错警示
符号问题：单项式为负时，每一项相乘都要变号
积的项数：结果项数与原多项式项数相同，防止漏乘
指数计算：单项式与多项式中同字母相乘时，指数相加而非相乘
四、多项式与多项式相乘（基础乘法的核心）
1. 运算法则
分步相乘再合并：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积合并同类项公式：
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2. 典型例题
例 4：计算
(x+2)(2x−3)
解：
x⋅2x+x⋅(−3)+2⋅2x+2⋅(−3)
=2x
2
−3x+4x−6
=2x
2
+x−6
（合并同类项）
3. 常用技巧
网格法：将两个多项式的项写在网格的行与列，交叉相乘后求和
“首首末末” 法：先乘首尾项，再乘交叉项，最后合并
五、乘法公式（多项式乘法的特例，需熟练掌握）
1. 平方差公式
公式：
(a+b)(a−b)=a
2
−b
2
特点：两数和乘以两数差，结果为两数的平方差
例 5：
(3x+2)(3x−2)=(3x)
2
−2
2
=9x
2
−4
2. 完全平方公式
和的平方：
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
差的平方：
(a−b)
2
=a
2
−2ab+b
2
口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看中间
例 6：
(2x−5)
2
=(2x)
2
−2⋅2x⋅5+5
2
=4x
2
−20x+25
3. 公式应用注意事项
公式中的
a,b
可以是数字、字母或单项式 / 多项式
例：
(x+y+z)(x+y−z)=[(x+y)+z][(x+y)−z]=(x+y)
2
−z
2
（整体思想）
避免常见错误：
(a+b)
2
=a
2
+b
2
（漏掉中间的
2ab
）
(a−b)
2
=a
2
−b
2
（应为
a
2
−2ab+b
2
）
六、综合运算步骤与易错点汇总
1. 通用运算步骤
先算乘方（幂的运算），再算乘法，最后算加减（合并同类项）
有括号先算括号内，多重括号从内到外
能用乘法公式的优先使用公式简化计算](https://manimvideo.explanation.fun/video/cover/595293059794583553.png)
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八年级数学 / 整式的乘法 / 整式的乘法 核心总览：整式乘法分为三大基础类型（单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式），以幂的运算法则为基础，延伸出平方差公式与完全平方公式两大常用乘法公式，运算时需注意符号与不漏项两大关键。 一、基础准备：幂的运算法则（必备前置知识） 法则 公式 示例 注意事项 同底数幂相乘 a m ⋅a n =a m+n （ m,n 为正整数） x 3 ⋅x 5 =x 8 底数必须相同，指数相加 幂的乘方 (a m ) n =a mn (y 2 ) 4 =y 8 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab) n =a n b n (2x) 3 =8x 3 积中每个因式分别乘方 二、单项式与单项式相乘（整式乘法基础） 1. 运算法则 三步骤法： 系数相乘：按有理数乘法计算 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 单独字母保留：只在一个单项式中出现的字母，连同指数作为积的因式 2. 典型例题 例 1：计算 2a 2 b⋅(−3ab 3 ) 解： (2×−3)⋅(a 2 ⋅a)⋅(b⋅b 3 )=−6a 3 b 4 例 2：计算 (−2x 2 y) 3 ⋅3xy 2 解：先算积的乘方： (−2) 3 ⋅(x 2 ) 3 ⋅y 3 =−8x 6 y 3 再相乘： −8x 6 y 3 ⋅3xy 2 =−24x 7 y 5 三、单项式与多项式相乘（转化思想的应用） 1. 运算法则 乘法分配律推广：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加公式： m(a+b+c)=ma+mb+mc 2. 典型例题 例 3：计算 −2x(3x 2 −4x+1) 解： −2x⋅3x 2 +(−2x)⋅(−4x)+(−2x)⋅1=−6x 3 +8x 2 −2x 3. 易错警示 符号问题：单项式为负时，每一项相乘都要变号 积的项数：结果项数与原多项式项数相同，防止漏乘 指数计算：单项式与多项式中同字母相乘时，指数相加而非相乘 四、多项式与多项式相乘（基础乘法的核心） 1. 运算法则 分步相乘再合并：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积合并同类项公式： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2. 典型例题 例 4：计算 (x+2)(2x−3) 解： x⋅2x+x⋅(−3)+2⋅2x+2⋅(−3) =2x 2 −3x+4x−6 =2x 2 +x−6 （合并同类项） 3. 常用技巧 网格法：将两个多项式的项写在网格的行与列，交叉相乘后求和 “首首末末” 法：先乘首尾项，再乘交叉项，最后合并 五、乘法公式（多项式乘法的特例，需熟练掌握） 1. 平方差公式 公式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 特点：两数和乘以两数差，结果为两数的平方差 例 5： (3x+2)(3x−2)=(3x) 2 −2 2 =9x 2 −4 2. 完全平方公式 和的平方： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 差的平方： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看中间 例 6： (2x−5) 2 =(2x) 2 −2⋅2x⋅5+5 2 =4x 2 −20x+25 3. 公式应用注意事项 公式中的 a,b 可以是数字、字母或单项式 / 多项式 例： (x+y+z)(x+y−z)=[(x+y)+z][(x+y)−z]=(x+y) 2 −z 2 （整体思想） 避免常见错误： (a+b) 2 =a 2 +b 2 （漏掉中间的 2ab ） (a−b) 2 =a 2 −b 2 （应为 a 2 −2ab+b 2 ） 六、综合运算步骤与易错点汇总 1. 通用运算步骤 先算乘方（幂的运算），再算乘法，最后算加减（合并同类项） 有括号先算括号内，多重括号从内到外 能用乘法公式的优先使用公式简化计算
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