二、核心乘法公式详解 1. 平方差公式 标准形式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 语言描述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 推导过程（多项式乘法展开）： (a+b)(a−b) ​ =a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b) =a 2 −ab+ab−b 2 =a 2 −b 2 ​ 结构特点： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（ a ），另一项互为相反数（ b 与 −b ） 右边：相同项的平方减去相反项的平方（同方减反方） 几何意义：边长为 a 的正方形中挖去边长为 b 的小正方形，剩余部分面积为 a 2 −b 2 ，可拼成一个长 (a+b) 、宽 (a−b) 的矩形 2. 完全平方公式（和与差） 完全平方和公式： 标准形式： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 语言描述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的 2 倍 完全平方差公式： 标准形式： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 语言描述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的 2 倍 推导过程（以和为例）： (a+b) 2 ​ =(a+b)(a+b) =a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b =a 2 +2ab+b 2 ​ 结构特点（口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央）： 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘） 右边：三项式，包含首项平方（ a 2 ）、尾项平方（ b 2 ）、中间交叉项的 2 倍（ ±2ab ），符号与左边二项式中间符号相同 几何意义（以和为例）：边长为 a+b 的正方形，可分为边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长 a 宽 b 的矩形，面积和为 a 2 +2ab+b 2 三、公式的灵活应用 1. 基本应用：直接套用公式 平方差公式示例： (x+3)(x−3)=x 2 −3 2 =x 2 −9 (2a+5b)(2a−5b)=(2a) 2 −(5b) 2 =4a 2 −25b 2 完全平方公式示例： (m+4) 2 =m 2 +2⋅m⋅4+4 2 =m 2 +8m+16 (3x−2y) 2 =(3x) 2 −2⋅3x⋅2y+(2y) 2 =9x 2 −12xy+4y 2