八年级数学 / 整式的乘法 / 乘法公式 乘法公式是整式乘法的核心内容，主要包括平方差公式和完全平方公式，它们是多项式乘法的特殊形式，能大幅简化运算。以下按 “公式 - 推导 - 结构 - 应用 - 题型 - 易错点” 的逻辑系统梳理，方便学习与复习。 一、基础运算回顾（前置知识） 运算类型 公式 语言描述 同底数幂乘法 a m ⋅a n =a m+n 底数不变，指数相加 幂的乘方 (a m ) n =a mn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab) n =a n b n 积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 多项式乘法 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再相加 二、核心乘法公式详解 1. 平方差公式 标准形式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 语言描述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 推导过程（多项式乘法展开）： (a+b)(a−b) ​ =a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b) =a 2 −ab+ab−b 2 =a 2 −b 2 ​ 结构特点： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（ a ），另一项互为相反数（ b 与 −b ） 右边：相同项的平方减去相反项的平方（同方减反方） 几何意义：边长为 a 的正方形中挖去边长为 b 的小正方形，剩余部分面积为 a 2 −b 2 ，可拼成一个长 (a+b) 、宽 (a−b) 的矩形 2. 完全平方公式（和与差） 完全平方和公式： 标准形式： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 语言描述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的 2 倍 完全平方差公式： 标准形式： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 语言描述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的 2 倍 推导过程（以和为例）： (a+b) 2 ​ =(a+b)(a+b) =a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b =a 2 +2ab+b 2 ​ 结构特点（口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央）： 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘） 右边：三项式，包含首项平方（ a 2 ）、尾项平方（ b 2 ）、中间交叉项的 2 倍（ ±2ab ），符号与左边二项式中间符号相同 几何意义（以和为例）：边长为 a+b 的正方形，可分为边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长 a 宽 b 的矩形，面积和为 a 2 +2ab+b 2