八年级数学 / 因式分解 / 用提公因式法分解因式 一、核心概念（夯实基础） 1. 公因式的定义 一个多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式的构成：① 系数部分：各项系数的最大公约数（若系数为负，取绝对值的最大公约数，最终公因式的符号由多项式首项符号决定，通常使首项为正）；② 字母部分：各项中相同的字母，且取相同字母的最低次幂；③ 特殊情况：公因式可以是单项式，也可以是多项式（如 (a+b) 作为公共因式）。 示例：多项式 8a 3 b 2 −12ab 3 c 的公因式：系数部分：8 和 12 的最大公约数是 4；字母部分：相同字母为 a （最低次幂 a 1 ）、 b （最低次幂 b 2 ），无公共字母 c ；因此公因式为 4ab 2 。 2. 提公因式法的定义 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 本质：逆用乘法分配律（ ma+mb+mc=m(a+b+c) ，其中 m 为公因式）。 二、提公因式法的解题步骤（规范操作） 步骤 1：找公因式（关键步骤） 按 “系数→字母→多项式” 的顺序找，确保不遗漏：① 找系数的最大公约数（含符号处理）；② 找相同字母的最低次幂；③ 若各项含有相同的多项式因式，将其视为一个整体作为公因式。 步骤 2：提公因式 用多项式的每一项除以公因式，得到另一个因式，公因式写在括号外，两个因式用乘法连接。 注意：提取公因式后，括号内的各项系数、字母次数要与原多项式对应，不能漏项。 步骤 3：验结果（避免出错） 用乘法分配律将分解后的式子展开，看是否与原多项式相等，若相等则分解正确。 三、典型例题（分层突破） 类型 1：公因式为单项式（基础题） 例 1：分解因式 6x 2 y−9xy 2 +3xy 步骤 1：找公因式 系数：6、-9、3 的最大公约数是 3； 字母：相同字母 x （最低次幂 x 1 ）、 y （最低次幂 y 1 ）； 公因式为 3xy 。 步骤 2：提公因式 每一项除以 3xy ： 6x 2 y÷3xy=2x ， −9xy 2 ÷3xy=−3y ， 3xy÷3xy=1 ； 因此分解结果： 3xy(2x−3y+1) （注意：最后一项除以公因式得 1，不能漏写）。 步骤 3：验证 展开 3xy(2x−3y+1)=6x 2 y−9xy 2 +3xy ，与原多项式一致，正确。 例 2：分解因式 −4a 3 b 2 +6a 2 b−2ab 步骤 1：找公因式 首项为负，先提取 “-” 号，再找系数绝对值的最大公约数：4、6、2 的最大公约数是 2； 字母：相同字母 a （最低次幂 a 1 ）、 b （最低次幂 b 1 ）； 公因式为 −2ab （提负号后，括号内各项符号要改变）。 步骤 2：提公因式 −4a 3 b 2 ÷(−2ab)=2a 2 b ， 6a 2 b÷(−2ab)=−3a ， −2ab÷(−2ab)=1 ； 分解结果： −2ab(2a 2 b−3a+1) 。 类型 2：公因式为多项式（进阶题） 例 3：分解因式 3(x−y)−2(x−y) 2 步骤 1：找公因式 各项都含多项式因式 (x−y) ，最低次幂为 (x−y) 1 ； 系数：3、-2 的最大公约数是 1； 公因式为 (x−y) 。 步骤 2：提公因式 3(x−y)÷(x−y)=3 ， −2(x−y) 2 ÷(x−y)=−2(x−y) ； 分解结果： (x−y)[3−2(x−y)]=(x−y)(3−2x+2y) （括号内可整理，去括号后合并同类项）。 例 4：分解因式 a(x−3)+2b(3−x) 关键：注意 (3−x)=−(x−3) ，先统一公因式； 步骤 1：变形后找公因式 原式 = a(x−3)−2b(x−3) ，公因式为 (x−3) ； 步骤 2：提公因式 分解结果： (x−3)(a−2b) 。 四、易错点总结（避坑指南） 漏提系数的最大公约数：如将 4x 2 −6x 分解为 2x(x−3) （错误，应为 2x(2x−3) ）； 漏提相同字母的最低次幂：如将 x 3 y 2 −x 2 y 3 分解为 x 2 y(x−y 2 ) （错误，应为 x 2 y 2 (x−y) ）； 提公因式后漏写 “1”：如将 2x+4 分解为 2(x) （错误，应为 2(x+2) ）； 符号错误：首项为负时未提负号，或提负号后括号内各项符号未改变； 公因式为多项式时未统一形式：如 (x−y) 和 (y−x) 需先转化为相同形式。 五、基础练习（巩固提升） 分解因式： 12x 3 y−18x 2 y 2 （答案： 6x 2 y(2x−3y) ） 分解因式： −8a 2 b+12ab 2 −4ab （答案： −4ab(2a−3b+1) ） 分解因式： 5(x+2)−3(x+2) 2 （答案： (x+2)(5−3x−6)=(x+2)(−3x−1)=−(x+2)(3x+1) ） 分解因式： m(a−b)−n(b−a) （答案： (a−b)(m+n) ） 六、总结 提公因式法是因式分解的最基础、最常用方法，核心是 “找准公因式”，关键在于兼顾系数、字母、多项式因式的提取，同时注意符号和漏项问题。掌握此方法后，能为后续学习公式法、十字相乘法等复杂因式分解打下基础，解题时需遵循 “找→提→验” 的步骤，规范操作，避免易错点。