八年级数学 / 整式的乘法 / 整式的乘法 核心总览：整式乘法分为三大基础类型（单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式），以幂的运算法则为基础，延伸出平方差公式与完全平方公式两大常用乘法公式，运算时需注意符号与不漏项两大关键。 一、基础准备：幂的运算法则（必备前置知识） 法则 公式 示例 注意事项 同底数幂相乘 a m ⋅a n =a m+n （ m,n 为正整数） x 3 ⋅x 5 =x 8 底数必须相同，指数相加 幂的乘方 (a m ) n =a mn (y 2 ) 4 =y 8 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab) n =a n b n (2x) 3 =8x 3 积中每个因式分别乘方 二、单项式与单项式相乘（整式乘法基础） 1. 运算法则 三步骤法： 系数相乘：按有理数乘法计算 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 单独字母保留：只在一个单项式中出现的字母，连同指数作为积的因式 2. 典型例题 例 1：计算 2a 2 b⋅(−3ab 3 ) 解： (2×−3)⋅(a 2 ⋅a)⋅(b⋅b 3 )=−6a 3 b 4 例 2：计算 (−2x 2 y) 3 ⋅3xy 2 解：先算积的乘方： (−2) 3 ⋅(x 2 ) 3 ⋅y 3 =−8x 6 y 3 再相乘： −8x 6 y 3 ⋅3xy 2 =−24x 7 y 5 三、单项式与多项式相乘（转化思想的应用） 1. 运算法则 乘法分配律推广：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加公式： m(a+b+c)=ma+mb+mc 2. 典型例题 例 3：计算 −2x(3x 2 −4x+1) 解： −2x⋅3x 2 +(−2x)⋅(−4x)+(−2x)⋅1=−6x 3 +8x 2 −2x 3. 易错警示 符号问题：单项式为负时，每一项相乘都要变号 积的项数：结果项数与原多项式项数相同，防止漏乘 指数计算：单项式与多项式中同字母相乘时，指数相加而非相乘 四、多项式与多项式相乘（基础乘法的核心） 1. 运算法则 分步相乘再合并：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积合并同类项公式： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2. 典型例题 例 4：计算 (x+2)(2x−3) 解： x⋅2x+x⋅(−3)+2⋅2x+2⋅(−3) =2x 2 −3x+4x−6 =2x 2 +x−6 （合并同类项） 3. 常用技巧 网格法：将两个多项式的项写在网格的行与列，交叉相乘后求和 “首首末末” 法：先乘首尾项，再乘交叉项，最后合并 五、乘法公式（多项式乘法的特例，需熟练掌握） 1. 平方差公式 公式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 特点：两数和乘以两数差，结果为两数的平方差 例 5： (3x+2)(3x−2)=(3x) 2 −2 2 =9x 2 −4 2. 完全平方公式 和的平方： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 差的平方： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看中间 例 6： (2x−5) 2 =(2x) 2 −2⋅2x⋅5+5 2 =4x 2 −20x+25 3. 公式应用注意事项 公式中的 a,b 可以是数字、字母或单项式 / 多项式 例： (x+y+z)(x+y−z)=[(x+y)+z][(x+y)−z]=(x+y) 2 −z 2 （整体思想） 避免常见错误： (a+b) 2  =a 2 +b 2 （漏掉中间的 2ab ） (a−b) 2  =a 2 −b 2 （应为 a 2 −2ab+b 2 ） 六、综合运算步骤与易错点汇总 1. 通用运算步骤 先算乘方（幂的运算），再算乘法，最后算加减（合并同类项） 有括号先算括号内，多重括号从内到外 能用乘法公式的优先使用公式简化计算