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八年级数学 / 轴对称 / 画轴对称的图形 一、核心知识点（5 分钟掌握） 画图依据：轴对称图形中，对称轴是对应点连线的垂直平分线（对应点到对称轴的距离相等，连线与对称轴垂直）。 关键概念： 关键点：图形的顶点、端点、交点（如三角形的 3 个顶点、线段的端点）。 对应点：原图形上的点关于对称轴的对称点。 二、规范画法步骤（以平面图形为例，8 分钟实操） 1. 准备工具 直尺（画直线、量距离）、圆规（画垂直平分线、量等距）、铅笔、纸。 2. 四步画法 步骤 操作细节 ① 找关键点 在原图形上标出所有关键点（如四边形标 4 个顶点，记为 A、B、C、D）。 ② 作对应点 以每个关键点为对象，作关于对称轴 l 的对称点： 1. 过点 A 作直线 l 的垂线（用圆规画弧，交 l 于两点，再作垂直平分线）； 2. 在垂线上量取与 A 到 l 相等的距离，得到对称点 A'（确保 A 到 l 的距离 = A' 到 l 的距离）； 3. 重复上述操作，得到 B'、C'、D'。 ③ 连对应点 用直尺依次连接 A'、B'、C'、D'（按原图形的顶点顺序连接，避免错乱）。 ④ 验证修正 检查：对应点连线是否垂直于对称轴，对应边长度是否相等，确保图形对称。 3. 网格图简化画法（无圆规时，3 分钟快速画） 若图形在方格纸中，关键点坐标可直接推导： 对称轴为竖直方向（如 x=2）：对应点横坐标 = 2×2 - 原横坐标，纵坐标不变（例：A (1,3)→A'(3,3)）； 对称轴为水平方向（如 y=1）：对应点纵坐标 = 2×1 - 原纵坐标，横坐标不变（例：B (4,2)→B'(4,0)）。 三、易错点警示（3 分钟规避） 漏找关键点：忽略线段端点或图形交点，导致对称图形残缺； 距离不等：作对应点时，未量准与对称轴的距离，导致图形不对称； 连线错乱：连接对应点时顺序与原图形不一致，形成 “扭曲图形”； 垂线不垂直：未用圆规规范作垂线，仅凭目测画，导致对应点偏差。 四、典型例题（5 分钟练习 + 解析） 例题：在方格纸中，画出△ABC 关于直线 l 的对称图形（如图，A (1,2)、B (3,1)、C (2,4)，对称轴 l 为直线 x=4）。 解析步骤： 确定关键点：A、B、C 三点； 求对应点坐标： A'(2×4 -1, 2)=(7,2)； B'(2×4 -3, 1)=(5,1)； C'(2×4 -2, 4)=(6,4)； 连接 A'、B'、C'，得到对称△A'B'C'。 五、即时练习（10 分钟巩固） 基础题：画出边长为 3cm 的正方形关于其竖直中线的对称图形（用圆规 + 直尺规范画）； 提升题：在方格纸中，画出梯形 ABCD（A (0,0)、B (4,0)、C (3,2)、D (1,2)）关于直线 y=3 的对称图形，写出对应点坐标。
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八年级数学 / 轴对称 / 图形的轴对称 一、核心概念（关键定义） 1. 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对称点（对应点）。 要点： 研究对象是一个图形的自身对称关系 对称轴是直线，不是线段或射线 一个轴对称图形的对称轴可能有一条或多条 2. 两个图形成轴对称 定义：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对称点（对应点）。 要点： 研究对象是两个图形之间的对称关系 这两个图形是全等图形 对应点所连线段被对称轴垂直平分 3. 两者区别与联系 项目 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形个数 1 个 2 个 对称关系 自身对称 两个图形之间对称 对称轴 1 条或多条 1 条 联系 都沿直线折叠后重合；对称轴都是对应点连线的垂直平分线；把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是轴对称图形 二、轴对称的性质（核心定理） 全等性：成轴对称的两个图形是全等图形，对应边相等，对应角相等。 垂直平分线性质：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（核心性质）。 对应关系： 对应线段相等，对应线段所在直线的交点在对称轴上（或平行于对称轴） 对应角相等，对应角的两边关于对称轴对称 对称性：轴对称变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 三、常见轴对称图形及对称轴数量 图形 对称轴数量 对称轴描述 线段 2 条 线段的垂直平分线；线段所在的直线 角 1 条 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 条 顶角平分线（底边上的高、底边上的中线）所在直线 等边三角形 3 条 每条边上的高（中线、所对角的平分线）所在直线 矩形 2 条 对边中点连线所在直线 菱形 2 条 对角线所在直线 正方形 4 条 对边中点连线 + 两条对角线所在直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 正 n 边形 n 条 每条边的垂直平分线（或每个内角的平分线）所在直线 四、对称轴的画法（操作步骤） 找对称点：在图形上选取若干个关键点（顶点、端点等） 作垂线：过每个关键点作对称轴的垂线 量距离：在垂线上截取与该点到对称轴距离相等的线段 连对称点：依次连接所有对称点，得到对称图形 五、轴对称的判定（识别方法） 定义法：沿某条直线折叠后，直线两旁部分完全重合 性质法： 若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形成轴对称 若一个图形的所有点关于某条直线的对称点都在该图形上，则该图形是轴对称图形 六、典型例题与应用 例题 1：基础识别 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）① 等腰三角形 ② 平行四边形 ③ 矩形 ④ 梯形 ⑤ 圆答案：①③⑤（解析：平行四边形无对称轴，一般梯形无对称轴） 例题 2：性质应用 已知△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，AB=5cm，∠A=60°，则 A'B'=，∠A'=答案：5cm，60°（解析：成轴对称的图形对应边相等，对应角相等） 例题 3：作图题 已知线段 AB 和直线 l，画出线段 AB 关于直线 l 的对称线段 A'B'步骤： 过 A 作 l 的垂线，垂足为 O，延长 AO 到 A'，使 OA'=OA 过 B 作 l 的垂线，垂足为 P，延长 BP 到 B'，使 PB'=PB 连接 A'B'，即为所求对称线段 七、易错点与注意事项 对称轴类型：对称轴是直线，不是线段或射线（如角的对称轴是角平分线所在直线，不是角平分线本身） 线段对称轴：线段有两条对称轴，不要漏掉线段所在直线 等腰三角形：对称轴是顶角平分线所在直线，也是底边上的高和中线所在直线（三线合一） 区分概念：不要混淆 “轴对称图形” 和 “两个图形成轴对称” 的概念 八、知识拓展 轴对称变换：由一个图形得到它的轴对称图形的过程叫做轴对称变换，属于全等变换 最短路径问题：利用轴对称性质解决（如 “将军饮马” 问题） 对称美：轴对称图形在建筑、艺术、设计等领域有广泛应用（如故宫、天坛等建筑） 核心口诀：轴对称，很重要，折叠重合是关键。一个图形叫对称，两个图形成轴对称。对称轴是垂直平分线，对应边等角不变。
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八年级数学 / 轴对称 / 图形的轴对称 一、核心概念（关键定义） 1. 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对称点（对应点）。 要点： 研究对象是一个图形的自身对称关系 对称轴是直线，不是线段或射线 一个轴对称图形的对称轴可能有一条或多条 2. 两个图形成轴对称 定义：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对称点（对应点）。 要点： 研究对象是两个图形之间的对称关系 这两个图形是全等图形 对应点所连线段被对称轴垂直平分 3. 两者区别与联系 项目 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形个数 1 个 2 个 对称关系 自身对称 两个图形之间对称 对称轴 1 条或多条 1 条 联系 都沿直线折叠后重合；对称轴都是对应点连线的垂直平分线；把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是轴对称图形 二、轴对称的性质（核心定理） 全等性：成轴对称的两个图形是全等图形，对应边相等，对应角相等。 垂直平分线性质：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（核心性质）。 对应关系： 对应线段相等，对应线段所在直线的交点在对称轴上（或平行于对称轴） 对应角相等，对应角的两边关于对称轴对称 对称性：轴对称变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 三、常见轴对称图形及对称轴数量 图形 对称轴数量 对称轴描述 线段 2 条 线段的垂直平分线；线段所在的直线 角 1 条 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 条 顶角平分线（底边上的高、底边上的中线）所在直线 等边三角形 3 条 每条边上的高（中线、所对角的平分线）所在直线 矩形 2 条 对边中点连线所在直线 菱形 2 条 对角线所在直线 正方形 4 条 对边中点连线 + 两条对角线所在直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 正 n 边形 n 条 每条边的垂直平分线（或每个内角的平分线）所在直线 四、对称轴的画法（操作步骤） 找对称点：在图形上选取若干个关键点（顶点、端点等） 作垂线：过每个关键点作对称轴的垂线 量距离：在垂线上截取与该点到对称轴距离相等的线段 连对称点：依次连接所有对称点，得到对称图形 五、轴对称的判定（识别方法） 定义法：沿某条直线折叠后，直线两旁部分完全重合 性质法： 若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形成轴对称 若一个图形的所有点关于某条直线的对称点都在该图形上，则该图形是轴对称图形 六、典型例题与应用 例题 1：基础识别 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）① 等腰三角形 ② 平行四边形 ③ 矩形 ④ 梯形 ⑤ 圆答案：①③⑤（解析：平行四边形无对称轴，一般梯形无对称轴） 例题 2：性质应用 已知△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，AB=5cm，∠A=60°，则 A'B'=，∠A'=答案：5cm，60°（解析：成轴对称的图形对应边相等，对应角相等） 例题 3：作图题 已知线段 AB 和直线 l，画出线段 AB 关于直线 l 的对称线段 A'B'步骤： 过 A 作 l 的垂线，垂足为 O，延长 AO 到 A'，使 OA'=OA 过 B 作 l 的垂线，垂足为 P，延长 BP 到 B'，使 PB'=PB 连接 A'B'，即为所求对称线段 七、易错点与注意事项 对称轴类型：对称轴是直线，不是线段或射线（如角的对称轴是角平分线所在直线，不是角平分线本身） 线段对称轴：线段有两条对称轴，不要漏掉线段所在直线 等腰三角形：对称轴是顶角平分线所在直线，也是底边上的高和中线所在直线（三线合一） 区分概念：不要混淆 “轴对称图形” 和 “两个图形成轴对称” 的概念 八、知识拓展 轴对称变换：由一个图形得到它的轴对称图形的过程叫做轴对称变换，属于全等变换 最短路径问题：利用轴对称性质解决（如 “将军饮马” 问题） 对称美：轴对称图形在建筑、艺术、设计等领域有广泛应用（如故宫、天坛等建筑） 核心口诀：轴对称，很重要，折叠重合是关键。一个图形叫对称，两个图形成轴对称。对称轴是垂直平分线，对应边等角不变。
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八年级数学 / 全等三角形 / 角的平分线 一、角平分线的定义与尺规作图 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何表示：若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC = ∠COB = ½∠AOB 2. 尺规作图（核心技能） 已知：∠AOB求作：∠AOB 的平分线作法： 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N 分别以 M、N 为圆心，大于 ½MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 P 画射线 OP，OP 即为∠AOB 的平分线 原理：SSS 全等判定（△OMP ≌ △ONP），对应角相等，故 OP 平分∠AOB 二、角平分线的核心定理（性质 + 判定） 1. 性质定理（重点） 角平分线上的点到角两边的距离相等 条件 结论 几何表示 ① 点 P 在∠AOB 的平分线上 ② PD⊥OA，PE⊥OB PD = PE ∵ OP 平分∠AOB PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD = PE 证明：用 AAS 判定△OPD ≌ △OPE，对应边 PD = PE 2. 判定定理（性质的逆定理） 角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 条件 结论 几何表示 ① 点 P 在∠AOB 内部 ② PD⊥OA，PE⊥OB ③ PD = PE 点 P 在∠AOB 的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 证明：用 HL 判定 Rt△OPD ≌ Rt△OPE，对应角∠AOP = ∠BOP 3. 重要推论 角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合 三、三角形的角平分线 1. 定义 三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线 2. 核心性质（必记） 三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心 内心到三角形三边的距离相等（内心性质） 内心一定在三角形内部 证明：利用角平分线判定定理，证明三条角平分线交于同一点，该点到三边距离相等 四、角平分线常用辅助线（解题关键） 辅助线类型 作法 适用场景 原理 向两边作垂线 过角平分线上一点作两边的垂线段 证明线段相等、角相等 角平分线性质，构造全等直角三角形（AAS/HL） 截取构全等 在角两边截取相等线段，连接角平分线上点 证明线段和差、角相等 SAS 全等判定，构造对称全等三角形 作角平分线的垂线 延长垂线与角另一边相交 证明线段相等、构造等腰三角形 等腰三角形三线合一，构造对称图形 角平分线 + 平行线 过角一边上点作角平分线的平行线 构造等腰三角形 等角对等边，平行线性质 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看 五、典型例题与解法（全等三角形应用） 例 1：性质定理应用 已知：在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，AC = 6，BC = 8求：CD 的长 解法： ∵ AD 平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB ∴ CD = DE（角平分线性质） 设 CD = x，则 DE = x，DB = 8 - x 易证 Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），故 AE = AC = 6 AB = √(AC² + BC²) = 10，BE = AB - AE = 4 在 Rt△BDE 中，x² + 4² = (8 - x)²，解得 x = 3 答案：CD = 3 例 2：判定定理应用 已知：在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，点 E 在 BC 上，且 AE 平分∠BAD，CE = DE求证：BE = DE 证明： 过 E 作 EF⊥AD 于 F ∵ AE 平分∠BAD，∠B = 90°，EF⊥AD ∴ BE = EF（角平分线性质） ∵ ∠D = 90°，CE = DE，且 CE⊥CD，DE⊥CD ∴ 点 E 在∠ADC 的平分线上（角平分线判定） 又 EF⊥AD，DE⊥CD，故 EF = DE ∴ BE = DE（等量代换） 例 3：辅助线构造（截取法） 已知：AD 平分∠BAC，AB > AC，求证：AB - AC = BD - DC 证明： 在 AB 上截取 AE = AC（构造全等） ∵ AD 平分∠BAC，故∠EAD = ∠CAD 在△AED 和△ACD 中： AE = AC，∠EAD = ∠CAD，AD = AD ∴ △AED ≌ △ACD（SAS），故 DE = DC AB - AC = AB - AE = BE BD - DC = BD - DE 在△BDE 中，BE = BD - DE（线段和差） ∴ AB - AC = BD - DC 六、易错点与注意事项 性质定理的两个必要条件： 点在角平分线上 到角两边的距离（必须是垂线段） 易错：忽略垂直关系，直接说 "角平分线上的点到角两边的线段相等" 判定定理的前提： 点必须在角的内部（外部点不适用） 三角形角平分线与角平分线区别： 前者是线段，后者是射线 内心与外心区别： 内心：三条角平分线交点，到三边距离相等 外心：三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等 七、思维导图（核心知识框架） plaintext 角的平分线 ├── 定义：分角为两等份的射线 ├── 尺规作图：三步骤+SSS原理 ├── 两大定理 │ ├── 性质：角平分线上点→到两边距离相等 │ └── 判定：到两边距离相等点→在角平分线上 ├── 三角形角平分线 │ ├── 定义：内角平分线与对边交点的线段 │ └── 性质：三线共点（内心），到三边等距 └── 辅助线技巧 ├── 向两边作垂线 ├── 截取构全等 ├── 作角平分线垂线 └── 角平分线+平行线 八、巩固练习（基础 + 提升） 基础题 如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，PC = 3，则 PD = ____（答案：3） 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的____（答案：内心） 提升题 已知：在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，AD 平分∠BAC，求∠ADC 的度数（答案：100°） 如图，∠B = ∠C = 90°，M 是 BC 中点，DM 平分∠ADC，求证：AM 平分∠DAB（提示：作 MN⊥AD 于 N）
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