八年级数学 / 分式 / 分式方程 本章节核心围绕分式方程的定义、解法、验根展开，核心思想是转化思想（将分式方程化为已学的整式方程求解），同时重点掌握分式方程的实际应用，是八年级分式板块的重点和中考基础考点，以下为系统化知识点梳理 + 解题方法 + 易错点总结。 一、分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。✅ 核心判定依据：①是方程（含等号）；②分母含有未知数（分母是常数的不是分式方程）。❌ 注意区分整式方程与分式方程： 整式方程 分式方程 分母仅为常数 分母含未知数 例： 2 x+1 ​ =3 、 2x−5=0 例： x 1 ​ =2 、 x−1 x ​ = x+3 2 ​ 二、解分式方程的核心思路与步骤 1. 核心思路 去分母，把分式方程转化为整式方程（一元一次方程为主，八年级阶段），利用整式方程的解法求解，最后验根（关键步骤，不可省略）。 2. 具体解题步骤（五步走，记牢！） 以解方程 x−1 1 ​ = x+1 2 ​ 为例演示： 步骤 1：找最简公分母 先观察所有分母的因式，取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母；若分母有多项式，先因式分解再找。例：分母为 x−1 和 x+1 ，最简公分母为 (x−1)(x+1) 。 步骤 2：去分母，化整式方程 方程两边同时乘最简公分母，消去分母，注意：不要漏乘不含分母的项（若方程有常数项，常数项也要乘公分母）。例：两边同乘 (x−1)(x+1) ，得： x+1=2(x−1) 。 步骤 3：解转化后的整式方程 按一元一次方程的解法（去括号、移项、合并同类项、系数化为 1）求解。例： x+1=2x−2 → 移项得 1+2=2x−x → x=3 。 步骤 4：验根（分式方程的专属步骤，必考易错点） （1）为什么要验根？ 去分母时，方程两边乘了含未知数的整式（最简公分母），若该整式的值为 0，会违反 “等式两边同时乘非 0 数，等式仍成立” 的性质，此时会产生增根，增根本质不是原分式方程的解，只是转化后整式方程的解。 （2）验根的两种方法（方法 2 更简便，优先用） 方法 1：代入原分式方程，检查①分母是否为 0；②左右两边是否相等。 方法 2：代入最简公分母，若公分母 = 0 → 是增根，舍去；若公分母≠0 → 是原方程的解。 例：把 x=3 代入 (x−1)(x+1) ，得 2×4=8  =0 ，故 x=3 是原方程的解。 步骤 5：写出最终解 若有解直接写，若无解（仅含增根）需注明 “原分式方程无解”。 三、增根的核心知识点 1. 增根的定义 使原分式方程的分母为 0的根（同时是转化后整式方程的根），增根不是原分式方程的解。 2. 常考题型：已知分式方程有增根，求参数的值 解题三步法（核心：先找增根，再代整式方程）： 令最简公分母 = 0，求出所有可能的增根； 把分式方程化为整式方程（不含分母）； 将增根代入整式方程，解出参数的值。 例题：若方程 x−2 x ​ − 2−x m ​ =3 有增根，求 m 的值。解：① 令最简公分母 x−2=0 ，得增根 x=2 ；② 去分母： x+m=3(x−2) （注意： 2−x=−(x−2) ，符号易出错）；③ 把 x=2 代入整式方程： 2+m=3×0 → m=−2 。 四、分式方程的实际应用（重点 + 难点） 分式方程的应用与一元一次方程应用的解题思路一致，仅多一步双重验根，是八年级期末、中考的常考应用题类型（行程、工程、销售、配套问题为主）。 1. 解题六步骤 审→设→列→解→验→答 审：审清题意，找出等量关系（核心，找题中表示相等的语句）； 设：设未知数（直接设：求什么设什么；间接设：设中间量，简化列式）； 列：根据等量关系，列出分式方程； 解：按分式方程的解法解出未知数； 验：双重验根（①检验是否为增根；②检验是否符合实际意义，如人数、天数、速度不能为负，数量为正整数等）； 答：写出答案（带单位）。 2. 常见应用类型及等量关系 八年级高频考 3 类，记牢核心公式和等量关系： （1）工程问题 核心公式： 工 作 总 量 工 作 效 率 工 作 时 间 ， 工 作 效 率 工 作 总 量 工 作 时 间 ✅ 常用技巧：若无明确工作总量，设工作总量为 1（如 “完成一项工程”“加工一批零件”）。等量关系：合作效率 = 各效率之和、甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量。 （2）行程问题 核心公式： 路 程 速 度 时 间 ， 速 度 路 程 时 间 ， 时 间 路 程 速 度 ✅ 高频考：顺水 / 逆水行船、相遇 / 追及、路程相同的快慢行。补充：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度。 （3）销售 / 比例问题 核心：单价、数量、总价的关系（ 总 价 单 价 数 量 ），或 “倍数 / 比例” 等量关系（如 “甲的速度是乙的 1.5 倍”）。 3. 应用例题（工程问题，贴合八年级难度） 例题：为美化校园，某校需清理一块草坪，若单独由七年级完成需 15 天，单独由八年级完成需 10 天。现七年级先做 3 天，剩下的由七、八年级合作完成，还需多少天？解：① 审：工作总量 = 1，七年级效率 15 1 ​ ，八年级效率 10 1 ​ ，七年级先做 3 天 + 合作天数 = 总天数；② 设：设还需 x 天完成；③ 列：七年级先做的工作量 + 合作工作量 = 1 → 15 3 ​ +( 15 1 ​ + 10 1 ​ )x=1 ；④ 解：去分母（公分母 30）→ 6+(2+3)x=30 → 5x=24 → x=4.8 ；⑤ 验： x=4.8 是分式方程的解，且天数为正，符合实际；⑥ 答：还需 4.8 天完成。 五、解分式方程的常见易错点（避坑指南） 八年级学生最易在以下 5 点丢分，解题时逐一检查： 去分母漏乘不含分母的项：如方程 x 1 ​ +2=3 ，两边乘 x 易写成 1+2=3x （正确： 1+2x=3x ）； 分母变号出错：如 2−x 1 ​ =− x−2 1 ​ ，去分母时忽略符号，导致整式方程列错； 忘记验根：解完直接写答案，增根未舍去（阅卷时直接扣分）； 找最简公分母未因式分解：如分母 x 2 −1 和 x+1 ，未分解 x 2 −1=(x−1)(x+1) ，错把公分母写成 x 2 −1(x+1) ； 实际应用未双重验根：解出负数或小数（如人数），未舍去，不符合实际意义。