八年级数学 / 分式 / 整数指数幂 一、核心定义（基础必备） 1. 正整数指数幂（回顾） 定义：对于正整数 n ， 个 （ a 叫做底数， n 叫做指数） 示例： 2 3 =2×2×2=8 ， (−3) 2 =(−3)×(−3)=9 2. 零指数幂（重点规定） 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即 a 0 =1 ​ （ a  =0 ） 关键条件： a  =0 （0 的 0 次幂无意义，如 0 0 不存在） 示例： 5 0 =1 ， (−2.3) 0 =1 ， (x 2 +1) 0 =1 （因 x 2 +1≥1  =0 ） 3. 负整数指数幂（核心新知） 定义：任何不等于 0 的数的 −n （ n 是正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数，即 a −n = a n 1 ​ ​ （ a  =0 ， n∈N ∗ ） 等价变形： a −n =( a 1 ​ ) n （方便计算，如 2 −3 =( 2 1 ​ ) 3 = 8 1 ​ ） 关键条件： a  =0 （分母不能为 0，如 0 −2 无意义） 示例： 3 −2 = 3 2 1 ​ = 9 1 ​ ， (− 2 1 ​ ) −4 =(−2) 4 =16 ， x −5 = x 5 1 ​ （ x  =0 ） 二、整数指数幂的运算法则（统一适用，重点掌握） 整数指数幂（正整数、零、负整数指数幂）的运算法则与正整数指数幂一致，无需额外记忆，核心法则如下： 法则名称 字母表示（ a  =0 ， b  =0 ， m,n 为整数） 文字说明 示例 同底数幂相乘 a m ⋅a n =a m+n 底数不变，指数相加 2 3 ⋅2 −5 =2 3+(−5) =2 −2 = 4 1 ​ 同底数幂相除 a m ÷a n =a m−n （或 a n a m ​ =a m−n ） 底数不变，指数相减 (−5) 2 ÷(−5) −3 =(−5) 2−(−3) =(−5) 5 =−3125 幂的乘方 (a m ) n =a m⋅n 底数不变，指数相乘 (3 −2 ) 4 =3 −2×4 =3 −8 = 3 8 1 ​ = 6561 1 ​ 积的乘方 (ab) n =a n ⋅b n 先把积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘 (2x) −3 =2 −3 ⋅x −3 = 8x 3 1 ​ （ x  =0 ） 商的乘方 ( b a ​ ) n = b n a n ​ 先把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除 ( y 3 ​ ) −2 = y −2 3 −2 ​ = 9 y 2 ​ （ y  =0 ） 法则核心要点： 所有法则对正、零、负整数指数均成立，无需区分指数类型； 运算前先确保底数不为 0（如 (x−2) −1 需满足 x  =2 ）； 结果通常化为正整数指数幂的形式（或最简分式），如 x −3 写成 x 3 1 ​ ，避免负指数出现在最终答案中。 三、科学记数法（负指数幂的重要应用） 1. 回顾：绝对值大于 1 的数的科学记数法 形式： N=a×10 n （其中 1≤∣a∣<10 ， n 为正整数， 整 数 位 数 ） 示例： 123000=1.23×10 5 （整数位数 6， n=6−1=5 ） 2. 新知：绝对值小于 1 的数的科学记数法 形式： N=a×10 −n （其中 1≤∣a∣<10 ， n 为正整数， 第 一 个 非 零 数 字 前 的 个 数 ） 核心逻辑：利用负指数幂 10 −n = 10 n 1 ​ ，将小数转化为整数乘以 10 的负幂 示例： 0.00032=3.2×10 −4 （第一个非零数字 3 前有 4 个 0， n=4 ） −0.00105=−1.05×10 −3 （第一个非零数字 1 前有 3 个 0， n=3 ） 0.000000789=7.89×10 −7 3. 科学记数法的还原 正向：小数→科学记数法：数出 0 的个数→确定 n →提取 a （1≤|a|<10）； 反向：科学记数法→小数： 10 −n 表示小数点向左移动 n 位（如 5.6×10 −5 =0.000056 ，小数点向左移 5 位）。 四、易错点辨析（避坑指南） 忽略底数不为 0 的条件： 错误： 0 −2 =1 （×）， (x 2 −4) 0 =1 （未注明 x  =±2 ，×）； 正确：只有底数≠0 时，零指数幂和负整数指数幂才有意义。 负指数幂的符号误区： 错误： −3 −2 = 9 1 ​ （×，应为 −3 −2 =− 3 2 1 ​ =− 9 1 ​ ）； 关键：负号在指数外时，先算指数幂，再取负（如 (−a) −n 与 −a −n 不同）。 运算法则混淆： 错误： (a 2 ) 3 =a 5 （×，应为 a 2×3 =a 6 ）， a 3 ⋅a −2 =a 3×(−2) =a −6 （×，应为 a 3+(−2) =a 1 =a ）； 记忆：相乘→相加，相除→相减，乘方→相乘（指数运算规则）。 科学记数法 n 的确定错误： 错误： 0.000021=21×10 −6 （×， a 需满足 1≤|a|<10，正确为 2.1×10 −5 ）； 技巧： a 是 “一位整数带小数”， n 由小数点移动位数决定（左移为正，右移为负）。