八年级数学 / 分式 / 分式的加法与减法 核心要点速览：分式加减法遵循 “同分母分母不变、分子相加减；异分母先通分再运算”，结果必须化为最简分式或整式，关键在于符号处理与通分两大环节。 一、同分母分式的加减法 1. 法则（类比同分母分数加减法） 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。字母表示： c a ​ ± c b ​ = c a±b ​ （ c  =0 ） 2. 运算步骤 保持分母不变，将各分式分子用括号括起来，再进行加减 去括号，合并同类项（特别注意减号后的符号变化） 约分，化为最简分式或整式 3. 例题与解析 例 1：计算 x+1 2x ​ + x+1 x−1 ​ 解：原式 = x+1 2x+(x−1) ​ （分子相加，分母不变）= x+1 2x+x−1 ​ （去括号）= x+1 3x−1 ​ （合并同类项，已是最简） 例 2：计算 a−2 3a ​ − a−2 a+4 ​ 解：原式 = a−2 3a−(a+4) ​ （分子相减，注意括号）= a−2 3a−a−4 ​ （去括号，减号后变号）= a−2 2a−4 ​ （合并同类项）= a−2 2(a−2) ​ （因式分解）= 2 （约分，结果为整式， a  =2 ） 4. 注意事项 分子是多项式时，必须加括号，防止符号错误 结果要约分，保证是最简分式或整式 分母不能为零，注意隐含条件（如例 2 中 a  =2 ） 二、异分母分式的加减法 1. 法则（类比异分母分数加减法） 异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法法则计算。字母表示： b a ​ ± d c ​ = bd ad±bc ​ （ b  =0 ， d  =0 ） 2. 关键：通分与最简公分母 通分：将几个异分母分式化为与原分式相等的同分母分式的过程，依据是分式基本性质。最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积。 3. 确定最简公分母的方法 分母类型 确定方法 示例 单项式 1. 系数：最小公倍数 2. 字母：各字母最高次幂 分母 2x 2 y 与 3xy 3 ，最简公分母 6x 2 y 3 多项式 1. 先因式分解 2. 取各因式最高次幂 3. 系数最小公倍数 分母 x 2 −4 （ =(x+2)(x−2) ）与 x−2 ，最简公分母 (x+2)(x−2) 4. 运算步骤 对各分母因式分解，确定最简公分母 用分式基本性质，将每个分式化为以最简公分母为分母的等价分式 按同分母分式加减法法则计算 结果约分，化为最简形式 5. 例题与解析 例 3：计算 x 1 ​ + 2x 1 ​ 解： 最简公分母： 2x 通分： x 1 ​ = 2x 2 ​ ， 2x 1 ​ 不变 计算： 2x 2 ​ + 2x 1 ​ = 2x 3 ​ （已是最简） 例 4：计算 x−1 3 ​ − x+1 2 ​ 解： 最简公分母： (x−1)(x+1)=x 2 −1 通分： x−1 3 ​ = (x−1)(x+1) 3(x+1) ​ ， x+1 2 ​ = (x−1)(x+1) 2(x−1) ​ 计算： (x−1)(x+1) 3(x+1)−2(x−1) ​ 分子化简： 3x+3−2x+2=x+5 结果： x 2 −1 x+5 ​ （ x  =±1 ） 三、分式加减法的特殊情况与技巧 1. 符号处理技巧 分式前面有负号： b a ​ − d c ​ = b a ​ +(− d c ​ ) ，分子整体变号 分母为相反数： a−b 1 ​ =− b−a 1 ​ ，可先统一符号再计算 例 5：计算 x−y 1 ​ + y−x 1 ​ 解：原式 = x−y 1 ​ − x−y 1 ​ = x−y 1−1 ​ =0 （ x  =y ） 2. 含整式的分式加减法 整式可视为分母为 1 的分式，再通分计算。例 6：计算 x+ x−1 1 ​ 解：原式 = x−1 x(x−1) ​ + x−1 1 ​ = x−1 x 2 −x+1 ​ （ x  =1 ） 3. 混合运算（先乘除后加减，有括号先算括号内） 例 7：计算 x+1 x ​ − x−1 1 ​ ⋅ x x 2 −1 ​ 解： 先算乘法： x−1 1 ​ ⋅ x (x+1)(x−1) ​ = x x+1 ​ 再算减法： x+1 x ​ − x x+1 ​ = x(x+1) x 2 −(x+1) 2 ​ = x(x+1) x 2 −x 2 −2x−1 ​ =− x(x+1) 2x+1 ​ （ x  =0,±1 ） 四、常见错误与避错指南 常见错误 错误原因 正确做法 同分母分式加减时分母也参与运算 混淆分数与分式运算法则 牢记 “分母不变，只把分子相加减” 分子是多项式时不加括号，导致符号错误 忽略减号对分子整体的影响 分子是多项式必须加括号，去括号时注意变号 通分时最简公分母确定错误 系数未取最小公倍数或字母未取最高次幂 严格按 “系数最小公倍数 × 字母最高次幂” 确定 结果未约分 忘记分式运算的最终要求 养成 “先因式分解，再约分” 的习惯 忽略分母不为零的条件 缺乏定义域意识 每步运算都要检查分母是否为零，结果注明限制条件 五、巩固练习（附答案） 基础题 a 3 ​ + a 2 ​ = a 5 ​ （ a  =0 ） x−2 x+1 ​ − x−2 x−3 ​ = x−2 4 ​ （ x  =2 ） 2x 1 ​ + 3x 1 ​ = 6x 5 ​ （ x  =0 ） 提高题 x+3 2 ​ + x−3 1 ​ = (x+3)(x−3) 3x−3 ​ （ x  =±3 ） x 2 −4 x ​ − 4−x 2 2 ​ = (x+2)(x−2) x+2 ​ = x−2 1 ​ （ x  =±2 ） 六、思维导图（知识结构） plaintext 分式加减法 ├─ 同分母分式加减法：分母不变，分子相加减（结果必约分） ├─ 异分母分式加减法：先通分→再按同分母法则计算 │ └─ 通分关键：确定最简公分母（系数最小公倍数×字母最高次幂） ├─ 特殊情况： │ ├─ 符号处理（分母互为相反数时先统一符号） │ ├─ 含整式的运算（整式视为分母为1的分式） │ └─ 混合运算（先乘除后加减，有括号先算括号内） └─ 核心要求：结果必须化为最简分式或整式，注意分母不为零 总结：分式加减法的本质是 “转化思想”—— 异分母转化为同分母，复杂转化为简单。掌握法则是基础，符号处理和通分技巧是关键，结果约分是保障，多加练习就能熟练掌握这一重要的代数运算技能。