八年级数学 / 分式 / 分式及其基本性质 一、分式的定义（核心概念） 1. 定义 一般地，如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 B A ​ 叫做分式（fraction）。 其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母。 注意：分式的分母必须含有字母，且分母不能为 0（分母为 0 时分式无意义）。 2. 分式与整式的区别 类别 定义（核心特征） 示例 整式 分母不含字母的代数式（单项式或多项式） 3x 、 5 2 ​ a 2 b 、 x+y−1 分式 分母含字母的代数式 x 1 ​ 、 x−3 x+2 ​ 、 a 2 +b 2 ab ​ 3. 典型例题（判断分式） 例：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？ x 2 ​ 、 3 x ​ 、 x+y 1 ​ 、 x−1 x 2 −1 ​ 、 0 、 5 ab ​ 解： 分式： x 2 ​ （分母含 x ）、 x+y 1 ​ （分母含 x,y ）、 x−1 x 2 −1 ​ （分母含 x ）； 整式： 3 x ​ （分母为常数 3）、 0 （单独常数）、 5 ab ​ （分母为常数 5）。 二、分式有意义、无意义及值为 0 的条件（高频考点） 1. 分式有意义的条件 分母不为 0，即 B  =0 （ A 可以为任意整式）。例：分式 2x−3 x+1 ​ 有意义的条件是 2x−3  =0 ，解得 x  = 2 3 ​ 。 2. 分式无意义的条件 分母为 0，即 B=0 （与有意义的条件相反）。例：分式 x 2 −4 5 ​ 无意义的条件是 x 2 −4=0 ，解得 x=2 或 x=−2 。 3. 分式值为 0 的条件（双重要求） 分子为 0： A=0 ； 分母不为 0： B  =0 （缺一不可，否则分式无意义或值不为 0）。 例：分式 x+1 x 2 −1 ​ 值为 0 的条件是： { x 2 −1=0 x+1  =0 ​ ，解得 x=1 （注意： x=−1 时分母为 0，需排除）。 三、分式的基本性质（核心性质，类比分数） 1. 基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。用式子表示为： B A ​ = B⋅C A⋅C ​ ， B A ​ = B÷C A÷C ​ （其中 C 是不等于 0 的整式）。 2. 关键注意事项 前提： C  =0 （若 C=0 ，则分母乘 0 后为 0，分式无意义）； 类比：与分数的基本性质一致（分数是分式的特殊形式，分母为常数），例如 3 2 ​ = 3×4 2×4 ​ = 12 8 ​ ，分式 y x ​ = y⋅2 x⋅2 ​ = 2y 2x ​ （ 2  =0 ）； 范围：分子、分母需同时乘（或除以）同一个整式，不能只乘分子或只乘分母。 3. 性质的应用场景 化简分式（约分）； 通分（分式加减法的基础）； 分式变形（如将分子分母的符号转化）。 四、分式的符号法则（由基本性质推导） 1. 符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。用式子表示为： B A ​ = −B −A ​ =− B −A ​ =− −B A ​ 2. 应用技巧 若分子或分母是多项式，改变符号时需变多项式中每一项的符号，例如 2−x x−3 ​ = −(x−2) −(3−x) ​ = x−2 3−x ​ ； 通常将分式的分母化为正数，方便后续计算，例如 −x+5 2 ​ = 5−x 2 ​ 。 五、分式的约分（基本性质的应用 1） 1. 定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2. 约分的步骤 分解因式：将分子、分母分别分解因式（提公因式、平方差、完全平方等）； 找出公因式：分子分母中相同因式的最低次幂的积； 约去公因式：分子分母同时除以公因式，得到最简分式。 3. 最简分式（约分的目标） 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（也叫既约分式）。例：约分 4(x−1) 2 2x(x−1) ​ 解： 分解因式：分子 2x(x−1) ，分母 4(x−1) 2 =2 2 (x−1) 2 ； 公因式： 2(x−1) ； 约分： 4(x−1) 2 ÷[2(x−1)] 2x(x−1)÷[2(x−1)] ​ = 2(x−1) x ​ （最简分式）。 六、分式的通分（基本性质的应用 2） 1. 定义 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 2. 通分的步骤 找最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积（类比分数的最小公倍数）； 分子分母同乘：每个分式的分子分母同时乘一个整式，使分母变为最简公分母。 3. 最简公分母的确定方法 系数：取各分母系数的最小公倍数； 字母（或因式）：取各分母中所有字母（或因式）的最高次幂； 例：通分 2x 2 y 1 ​ 和 4xy 2 3 ​ 解： 最简公分母：系数最小公倍数 4 ，字母 x 2 y 2 ，即 4x 2 y 2 ； 通分： 2x 2 y 1 ​ = 2x 2 y×2y 1×2y ​ = 4x 2 y 2 2y ​ ， 4xy 2 3 ​ = 4xy 2 ×x 3×x ​ = 4x 2 y 2 3x ​ 。 七、易错点总结（避坑指南） 忽略分母不为 0 的条件：判断分式有意义、值为 0 时，必须先保证分母≠0； 约分 / 通分时出错： 约分只约公因式，不能约去 “单独的项”（例如 x+2 x+1 ​ 不能约去 x ）； 通分找错最简公分母（尤其是分母含多项式时，需先分解因式）； 符号变形错误：改变分子或分母符号时，忘记变多项式的每一项符号； 混淆 “分式基本性质” 与 “等式性质”：分式变形是 “分子分母同乘 / 除同一个不为 0 的整式”，而非 “两边同乘 / 除”（等式变形是两边操作）。