八年级数学 / 全等三角形 / 角的平分线 一、角平分线的定义与尺规作图 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何表示：若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC = ∠COB = ½∠AOB 2. 尺规作图（核心技能） 已知：∠AOB求作：∠AOB 的平分线作法： 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N 分别以 M、N 为圆心，大于 ½MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 P 画射线 OP，OP 即为∠AOB 的平分线 原理：SSS 全等判定（△OMP ≌ △ONP），对应角相等，故 OP 平分∠AOB 二、角平分线的核心定理（性质 + 判定） 1. 性质定理（重点） 角平分线上的点到角两边的距离相等 条件 结论 几何表示 ① 点 P 在∠AOB 的平分线上 ② PD⊥OA，PE⊥OB PD = PE ∵ OP 平分∠AOB PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD = PE 证明：用 AAS 判定△OPD ≌ △OPE，对应边 PD = PE 2. 判定定理（性质的逆定理） 角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 条件 结论 几何表示 ① 点 P 在∠AOB 内部 ② PD⊥OA，PE⊥OB ③ PD = PE 点 P 在∠AOB 的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 证明：用 HL 判定 Rt△OPD ≌ Rt△OPE，对应角∠AOP = ∠BOP 3. 重要推论 角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合 三、三角形的角平分线 1. 定义 三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线 2. 核心性质（必记） 三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心 内心到三角形三边的距离相等（内心性质） 内心一定在三角形内部 证明：利用角平分线判定定理，证明三条角平分线交于同一点，该点到三边距离相等 四、角平分线常用辅助线（解题关键） 辅助线类型 作法 适用场景 原理 向两边作垂线 过角平分线上一点作两边的垂线段 证明线段相等、角相等 角平分线性质，构造全等直角三角形（AAS/HL） 截取构全等 在角两边截取相等线段，连接角平分线上点 证明线段和差、角相等 SAS 全等判定，构造对称全等三角形 作角平分线的垂线 延长垂线与角另一边相交 证明线段相等、构造等腰三角形 等腰三角形三线合一，构造对称图形 角平分线 + 平行线 过角一边上点作角平分线的平行线 构造等腰三角形 等角对等边，平行线性质 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看 五、典型例题与解法（全等三角形应用） 例 1：性质定理应用 已知：在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，AC = 6，BC = 8求：CD 的长 解法： ∵ AD 平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB ∴ CD = DE（角平分线性质） 设 CD = x，则 DE = x，DB = 8 - x 易证 Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），故 AE = AC = 6 AB = √(AC² + BC²) = 10，BE = AB - AE = 4 在 Rt△BDE 中，x² + 4² = (8 - x)²，解得 x = 3 答案：CD = 3 例 2：判定定理应用 已知：在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，点 E 在 BC 上，且 AE 平分∠BAD，CE = DE求证：BE = DE 证明： 过 E 作 EF⊥AD 于 F ∵ AE 平分∠BAD，∠B = 90°，EF⊥AD ∴ BE = EF（角平分线性质） ∵ ∠D = 90°，CE = DE，且 CE⊥CD，DE⊥CD ∴ 点 E 在∠ADC 的平分线上（角平分线判定） 又 EF⊥AD，DE⊥CD，故 EF = DE ∴ BE = DE（等量代换） 例 3：辅助线构造（截取法） 已知：AD 平分∠BAC，AB > AC，求证：AB - AC = BD - DC 证明： 在 AB 上截取 AE = AC（构造全等） ∵ AD 平分∠BAC，故∠EAD = ∠CAD 在△AED 和△ACD 中： AE = AC，∠EAD = ∠CAD，AD = AD ∴ △AED ≌ △ACD（SAS），故 DE = DC AB - AC = AB - AE = BE BD - DC = BD - DE 在△BDE 中，BE = BD - DE（线段和差） ∴ AB - AC = BD - DC 六、易错点与注意事项 性质定理的两个必要条件： 点在角平分线上 到角两边的距离（必须是垂线段） 易错：忽略垂直关系，直接说 "角平分线上的点到角两边的线段相等" 判定定理的前提： 点必须在角的内部（外部点不适用） 三角形角平分线与角平分线区别： 前者是线段，后者是射线 内心与外心区别： 内心：三条角平分线交点，到三边距离相等 外心：三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等 七、思维导图（核心知识框架） plaintext 角的平分线 ├── 定义：分角为两等份的射线 ├── 尺规作图：三步骤+SSS原理 ├── 两大定理 │ ├── 性质：角平分线上点→到两边距离相等 │ └── 判定：到两边距离相等点→在角平分线上 ├── 三角形角平分线 │ ├── 定义：内角平分线与对边交点的线段 │ └── 性质：三线共点（内心），到三边等距 └── 辅助线技巧 ├── 向两边作垂线 ├── 截取构全等 ├── 作角平分线垂线 └── 角平分线+平行线 八、巩固练习（基础 + 提升） 基础题 如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，PC = 3，则 PD = ____（答案：3） 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的____（答案：内心） 提升题 已知：在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，AD 平分∠BAC，求∠ADC 的度数（答案：100°） 如图，∠B = ∠C = 90°，M 是 BC 中点，DM 平分∠ADC，求证：AM 平分∠DAB（提示：作 MN⊥AD 于 N）