一元一次不等式组 一、基本概念 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立组成的式子，叫做一元一次不等式组。 关键条件： 每个不等式必须是一元一次不等式（只含一个未知数，且未知数次数为 1） 所有不等式必须含有同一个未知数 不等式组中至少有两个不等式 解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。如果没有公共部分，则称不等式组无解。 二、不等式的基本性质（解不等式的依据） 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。若 a > b，则 a ± c > b ± c 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。若 a > b，c > 0，则 ac > bc（或 a/c > b/c） 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若 a > b，c < 0，则 ac < bc（或 a/c < b/c） 三、一元一次不等式组的解法 1. 解法步骤 步骤 1：分别求出不等式组中每个不等式的解集步骤 2：将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来步骤 3：利用数轴找出这些解集的公共部分，即为不等式组的解集 2. 解集确定口诀（简化判断） 不等式组形式 解集 口诀 x > a x > b (a < b) x > b 同大取大 x < a x < b (a < b) x < a 同小取小 x > a x < b (a < b) a < x < b 大小小大中间找 x < a x > b (a < b) 无解 大大小小找不到 前提：不等式已化为最简形式 3. 例题解析 例 1：解不等式组 plaintext { 2x - 1 > 3 ① x + 1 < 4 ② } 解： 解不等式①：2x - 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2 解不等式②：x + 1 < 4 → x < 3 在数轴上表示两个解集（略） 公共部分为：2 < x < 3 例 2：解不等式组 plaintext { x + 2 ≥ 5 ① 3x - 1 > 8 ② } 解： 解①：x ≥ 3 解②：3x > 9 → x > 3 公共部分：x > 3（同大取大） 四、一元一次不等式组的解集表示方法 1. 不等式表示法 如：2 < x < 3，x ≥ 5 2. 数轴表示法（直观、常用） 画数轴，标出关键点 大于（>）或小于（<）用空心圆圈表示不包含该点 大于等于（≥）或小于等于（≤）用实心圆点表示包含该点 用线段或射线表示解集范围 五、一元一次不等式组的应用 解题步骤： 设未知数 根据题意找出不等关系（关键词：至少、最多、不超过、不少于等） 列出不等式组 解不等式组 根据实际问题确定答案（注意是否取整数等） 典型应用题类型： 分配问题：如分苹果、安排座位等 行程问题：如速度、时间、路程关系 经济问题：如购物优惠、成本利润 方案设计：如选择最佳方案、购买计划 积分问题：如比赛得分、考试成绩 例：小华家距学校 2.4 千米，走到一半时发现只剩 12 分钟到校。问：他走剩下路程的平均速度至少要多少？ 解： 设速度至少为 x 千米 / 分钟 剩余路程 1.2 千米，时间≤12 分钟 不等关系：1.2/x ≤ 12 → x ≥ 0.1 答：平均速度至少要0.1 千米 / 分钟（或 6 千米 / 小时） 六、总结与要点 定义：含同一未知数的多个一元一次不等式的组合 解法：先分别求解，再找公共部分（数轴或口诀） 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 应用：关键是找出实际问题中的不等关系