七年级数学 / 实数 / 实数及其简单运算 一、实数的概念与分类 1. 实数的定义 有理数和无理数统称为实数，也就是说，所有可以在数轴上表示出来的数都属于实数。 2. 实数的分类 （1）按定义分类 实 数 有 理 数 整 数 正 整 数 负 整 数 分 数 正 分 数 负 分 数 无 理 数 ： 无 限 不 循 环 小 数 有理数的本质：可以表示为两个整数之比（ q p ​ ，其中 p,q 为整数且 q  =0 ），其小数形式为有限小数或无限循环小数。 无理数的常见类型： 开方开不尽的数，如 2 ​ 、 3 ​ 、 5 ​ 等； 特定的无限不循环小数，如圆周率 π （ π≈3.1415926… ）； 有规律但不循环的无限小数，如 0.1010010001… （相邻两个 1 之间 0 的个数依次加 1）。 （2）按正负性分类 实 数 正 实 数 正 有 理 数 正 无 理 数 负 实 数 负 有 理 数 负 无 理 数 二、实数的相关性质 实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都对应一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 相反数：实数 a 的相反数是 −a ，0 的相反数是 0。互为相反数的两个实数在数轴上对应的点关于原点对称，且它们的和为 0（即 a+(−a)=0 ）。 绝对值：实数 a 的绝对值 ∣a∣ 的几何意义是数轴上表示 a 的点到原点的距离，代数意义为： ∣a∣= ⎩ ⎨ ⎧ ​ a 0 −a ​ (a>0) (a=0) (a<0) ​ 倒数：非零实数 a 的倒数是 a 1 ​ ，0 没有倒数。互为倒数的两个实数的积为 1（即 a⋅ a 1 ​ =1 ）。 三、实数的简单运算 1. 运算法则 实数的运算律和运算法则与有理数一致，核心运算包括加、减、乘、除、乘方，以及开平方（算术平方根），具体如下： 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得 0；一个数与 0 相加仍得这个数。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a−b=a+(−b) 。 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0；多个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定（负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负）。 除法：除以一个非零数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b=a⋅ b 1 ​ (b  =0) ；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何非零数都得 0。 乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫乘方，记作 a n ，其中 a 是底数， n 是指数，结果叫幂。正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0 的正整数次幂是 0。 开平方：若 x 2 =a(a≥0) ，则 x 叫做 a 的平方根，其中非负的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 a ​ （ a≥0 ）；0 的算术平方根是 0，负数没有平方根。 2. 运算顺序 先算乘方、开平方，再算乘除，最后算加减； 有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号）； 同级运算从左到右依次进行。 3. 典型例题 例 1：计算 4 ​ +∣− 2 ​ ∣−(−1) 解：原式 =2+ 2 ​ +1=3+ 2 ​ 例 2：计算 (−2) 2 − 9 ​ +π 0 （ π 0 =1 ，任何非零数的 0 次幂为 1）解：原式 =4−3+1=2 四、易错点提醒 混淆 “有理数” 和 “无理数” 的概念，误认为带根号的数都是无理数（如 4 ​ =2 是有理数）； 忽略绝对值运算的分类讨论，如计算 ∣a−1∣ 时未考虑 a 与 1 的大小关系； 进行开平方运算时，忘记算术平方根是非负数，如误将 4 ​ 算成 ±2。