T
Teach Me AnythingTMA
Video History
Page 20 / 43
▶
七年级数学 / 实数 / 立方根 一、立方根的基本定义 如果一个数的立方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的立方根，也叫做 a 的三次方根。 数学表达式：若 x 3 =a ，则 x 叫做 a 的立方根，记作 x= 3 a ，其中符号 “ 3 ” 称为三次根号， a 是被开方数，根指数 3 不能省略（平方根的根指数 2 可省略）。 示例：因为 2 3 =8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即 3 8 =2 ；因为 (−2) 3 =−8 ，所以 −8 的立方根是 −2 ，即 3 −8 =−2 。 二、立方根的核心性质 唯一性：任何实数都有且只有一个立方根。 与平方根不同（负数没有平方根），正数、负数、 0 都能找到唯一的立方根。 符号性： 正数的立方根是正数，例如 3 27 =3 ； 负数的立方根是负数，例如 3 −64 =−4 ； 0 的立方根是 0 ，即 3 0 =0 。 特殊等式： 3 −a =− 3 a ，即负数的立方根可转化为其相反数的立方根的相反数，比如 3 −125 =− 3 125 =−5 。 三、立方根的计算方法 开立方与立方互为逆运算：求一个数的立方根，可通过找哪个数的立方等于被开方数来确定。 示例：求 3 64 ，因为 4 3 =64 ，所以 3 64 =4 ；求 3 − 8 1 ，因为 (− 2 1 ) 3 =− 8 1 ，所以 3 − 8 1 =− 2 1 。 常见立方根数值（需熟记）： 被开方数 a 3 a 被开方数 a 3 a 0 0 −1 −1 1 1 −8 −2 8 2 −27 −3 27 3 −64 −4 64 4 −125 −5 四、立方根与平方根的区别 对比维度 平方根 立方根 存在范围 非负数才有平方根 全体实数都有立方根 个数 正数有两个互为相反数的平方根， 0 的平方根是 0 任何实数都只有一个立方根 符号 正数的平方根一正一负 正数立方根为正，负数立方根为负 根指数 根指数 2 可省略 根指数 3 不可省略 五、立方根的简单应用 利用立方根可解决与体积相关的实际问题，比如求正方体的棱长。 示例：一个正方体的体积为 216 立方厘米，求其棱长。设棱长为 x 厘米，则 x 3 =216 ，解得 x= 3 216 =6 ，即棱长为 6 厘米。
▶
七年级数学・实数单元・平方根知识点梳理 一、平方根的基础定义 如果一个数 x 的平方等于 a （即 x 2 =a ），那么这个数 x 就叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。 示例：因为 3 2 =9 ， (−3) 2 =9 ，所以 9 的平方根是 3 和 −3 ，记作 ± 9 =±3 。 符号说明： 称为根号， a 称为被开方数，且被开方数 a 必须满足 a≥0 （因为任何实数的平方都非负，负数没有平方根）。 二、算术平方根 1. 定义 正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 a ；特别地， 0 的平方根和算术平方根都是 0 （即 0 =0 ）。 示例： 9 的算术平方根是 9 =3 ，而 −3 是 9 的平方根但不是算术平方根。 2. 算术平方根的非负性 算术平方根 a 具有双重非负性： 被开方数非负： a≥0 ； 算术平方根本身非负： a ≥0 。 常见题型：若 x−2 + y+3 =0 ，则 x−2=0 且 y+3=0 ，即 x=2 ， y=−3 。 三、平方根的性质 正数的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数（如 16 的平方根为 ±4 ）。 0 的性质： 0 的平方根只有一个，就是 0 本身。 负数的性质：负数没有平方根（因为实数范围内，任何数的平方都不可能是负数）。 四、平方根的计算方法 完全平方数的平方根：直接根据平方逆运算求解，如 25 =5 ， ± 49 =±7 。 非完全平方数的平方根：结果为无理数，可保留根号形式或求近似值，如 2 ≈1.414 ， 3 ≈1.732 （七年级阶段通常要求保留根号或记住常用近似值）。 五、易错点辨析 混淆平方根和算术平方根：如 16 =4 （算术平方根，只有正根），而 16 的平方根是 ±4 （两个根）。 忽略被开方数的非负性：如误认为 −4 有意义，实际负数无平方根。 错误计算带分数平方根：如 1 16 9 需先化为假分数 16 25 = 4 5 ，而非直接拆分计算。
▶
七年级数学・相交线与平行线・平移 一、平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移，简称平移。 需要注意的是： 平移的两大要素：平移方向（如水平向左、竖直向上、斜向右下等）和平移距离（图形上任意一点移动的路程）； 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 示例：在方格纸中把一个三角形向右移动 5 个单位长度，就是典型的平移运动。 二、平移的性质 平移前后的两个图形是全等图形，对应边相等、对应角相等； 连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等； 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 示例：将线段 AB 平移得到线段 A'B'，则 AB∥A'B'（或共线）且 AB=A'B'，连接 AA' 和 BB'，有 AA'∥BB'（或共线）且 AA'=BB'。 三、平移的作图步骤 以平移三角形 ABC，使点 A 移到点 A' 为例，步骤如下： 确定平移方向和距离：方向为从 A 到 A' 的方向，距离为线段 AA' 的长度； 作对应点： 过点 B 作线段 BB'∥AA'，且 BB'=AA'，得到点 B 的对应点 B'； 过点 C 作线段 CC'∥AA'，且 CC'=AA'，得到点 C 的对应点 C'； 连接对应点：顺次连接 A'B'、B'C'、C'A'，得到平移后的三角形 A'B'C'。 四、平移与平行线的关联 平移的本质是利用了平行线的性质，因为平移过程中对应点连线和对应线段都保持平行； 反过来，也可以借助平行线来验证图形是否为平移得到（若对应点连线都平行且相等，则是平移变换）。 五、平移的实际应用 生活中的平移现象：电梯的升降、传送带上物品的移动、窗户的推拉等； 数学解题中的应用：通过平移线段或图形，将分散的线段集中到一起，方便计算长度或角度（如求不规则图形的周长、面积）。
▶
生活事件、应对方式与压力 （霍姆斯和拉赫的“社会再适应评定量表”） 主要内容：编制了一个量表，将生活中的各种事件（无论是正面的如结婚，还是负面的如失业）按其所需的适应程度赋予压力值。发现累积的生活变化值与罹患疾病的风险存在显著相关。
▶
测试实验21、我知你心（埃克曼的“面部表情”研究）主要内容：通过对不同文化（包括与世界呼吸的某些部落）人群的研究，发现对于基本情绪（如愤怒、恐惧、快乐、悲伤、惊讶），其面部表情具有跨文化的一致性，支持了情绪表达的生物学基础。
▶
七年级数学・相交线与平行线・定义、命题、定理 本小节知识是几何逻辑推理的基础，核心是区分定义命题定理的概念，掌握命题的结构与真假判断，为后续平行线的推理证明铺垫。 一、核心定义 1. 相交线与平行线相关基础定义 相交线：在同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线叫做相交线，这个公共点称为交点。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作 a∥b ，读作 “a 平行于 b”。 对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角叫做对顶角。 邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做邻补角。 2. 定义的本质 定义是对一个概念的含义进行准确描述的语句，它既可以作为判定依据，也可以作为性质使用。例如 “平行线的定义”，既可以用 “不相交” 判定两直线平行，也可以由 “两直线平行” 得出 “它们不相交” 的性质。 二、命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题，命题必须是一个完整的陈述句，且能明确判断 “真” 或 “假”。 示例：“对顶角相等” 是命题；“画一条直线” 不是命题（未进行判断）；“你好吗” 不是命题（不是陈述句）。 2. 命题的结构 任何命题都可以拆分为题设和结论两部分： 题设：命题中已知的事项（条件），通常用 “如果” 引导； 结论：由题设推出的事项（结果），通常用 “那么” 引导。 改写示例：将 “对顶角相等” 改写为 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中题设是 “两个角是对顶角”，结论是 “这两个角相等”。 3. 命题的分类 真命题：题设成立时，结论一定成立的命题，例如 “邻补角之和为 180°”； 假命题：题设成立时，结论不一定成立的命题，例如 “相等的角是对顶角”（反例：两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角）。 三、定理 1. 定理的定义 经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为后续推理证明的依据。 2. 相交线与平行线相关核心定理 （1）相交线相关定理 对顶角相等：如果两个角是对顶角，那么这两个角的度数相等。 邻补角互补：如果两个角是邻补角，那么它们的和为 180°。 （2）平行线相关定理 平行线的判定定理 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行； 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 平行线的性质定理 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 四、定义、命题、定理的区别与联系 类别 核心特征 能否作为推理依据 定义 描述概念含义 能 命题 判断事情的语句（可真可假） 假命题不能，真命题未证实时也不能 定理 经证实的真命题 能
▶
七年级数学・相交线与平行线・平行线知识点梳理 一、平行线的基本定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作 a∥b ，读作 “ a 平行于 b ”。 关键注意点 前提条件是同一平面内，若不在同一平面，不相交的直线不一定是平行线（如异面直线，七年级暂不涉及）； 平行线是针对直线而言的，线段或射线的平行，是指它们所在的直线平行。 二、平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 例：过直线 l 外一点 P ，只能画出一条直线与 l 平行。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若 a∥c ， b∥c ，则 a∥b 。 三、平行线的判定方法 判定平行线的核心是通过角的数量关系推导直线的位置关系，具体有以下 4 种判定方式： 同位角相等，两直线平行 定义：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。 符号语言：若 ∠1=∠2 （同位角），则 a∥b 。 内错角相等，两直线平行 定义：两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则这两条直线平行。 符号语言：若 ∠3=∠4 （内错角），则 a∥b 。 同旁内角互补，两直线平行 定义：两条直线被第三条直线所截，若同旁内角之和为 180 ∘ ，则这两条直线平行。 符号语言：若 ∠5+∠6=180 ∘ （同旁内角），则 a∥b 。 平行公理推论的拓展判定：平行于同一直线的两直线平行（即上述平行公理推论）。 四、平行线的性质 平行线的性质与判定是互逆的，核心是通过直线的位置关系推导角的数量关系，具体有 3 条性质： 两直线平行，同位角相等 符号语言：若 a∥b ，则 ∠1=∠2 。 两直线平行，内错角相等 符号语言：若 a∥b ，则 ∠3=∠4 。 两直线平行，同旁内角互补 符号语言：若 a∥b ，则 ∠5+∠6=180 ∘ 。 五、平行线判定与性质的区别与联系 类别 判定 性质 逻辑关系 由角的关系推直线平行 由直线平行推角的关系 因果关系 因：角相等 / 互补；果：线平行 因：线平行；果：角相等 / 互补 核心用途 判断两条直线是否平行 计算角的度数或证明角的关系
▶
七年级数学・相交线与平行线・相交线 一、相交线的基本概念 相交线的定义在同一平面内，两条直线只有一个公共点时，这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做交点。例如：直线 AB 和直线 CD 相交于点 O，点 O 就是它们的交点。 邻补角 定义：两条直线相交时，相邻且互补的两个角叫做邻补角。 特征：① 有一条公共边；② 另一边互为反向延长线；③ 两个角的和为 180°。 示例：直线 AB 与 CD 相交于 O，∠AOC 和∠AOD 是邻补角，∠AOC+∠AOD=180°。 对顶角 定义：两条直线相交时，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 特征：① 顶点相同；② 两边互为反向延长线；③ 对顶角相等。 示例：直线 AB 与 CD 相交于 O，∠AOC 和∠BOD 是对顶角，则∠AOC=∠BOD；∠AOD 和∠BOC 是对顶角，则∠AOD=∠BOC。 二、垂线 垂线的定义如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角（90°），那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。符号表示：若直线 AB⊥CD 于点 O，则∠AOC=90°。 垂线的性质 性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（“一点” 可以在直线上，也可以在直线外） 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短。 点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。注意距离是 “长度”，是一个数值，而非线段本身。 三、相交线中的角度计算 核心依据 邻补角之和为 180°； 对顶角相等； 垂直的两条直线夹角为 90°。 典型例题已知直线 AB 和 CD 相交于点 O，OE⊥AB，∠EOD=65°，求∠AOC 的度数。解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°∵∠AOE=∠AOD+∠EOD，∠EOD=65°∴∠AOD=90°-65°=25°又∵∠AOC 与∠AOD 是邻补角∴∠AOC=180°-25°=155°（或利用对顶角，若有其他条件也可灵活转换）
▶
什么是增函数,什么是减函数
▶
讲解什么是集合
▶
什么是集合
▶